QUESTÃO 4 - Calcule o divergente e o rotacional das seguintes funções
Na prova vai ser uma alternativa desse tipo só.
\vec{f}(x, y, z)=(x z, y,-x z)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \displaystyle \vec f(x,y,z) = (\,x z,\;y,\;-x z\,)
e pede o divergente \nabla\!\cdot\!\vec f e o rotacional \nabla\times\vec f.
Para isso, vamos usar as definições:
\nabla\!\cdot\!\vec f = \frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y} + \frac{\partial f_3}{\partial z},
\nabla\times\vec f = \Bigl(\frac{\partial f_3}{\partial y} - \frac{\partial f_2}{\partial z},\; \frac{\partial f_1}{\partial z} - \frac{\partial f_3}{\partial x},\; \frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial y}\Bigr).

Passo 2

Calcular cada derivada parcial para o divergente: \displaystyle f_1(x,y,z)=x z \displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x} = z. \displaystyle f_2(x,y,z)=y \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial y} = 1. \displaystyle f_3(x,y,z)=-x z \displaystyle \frac{\partial f_3}{\partial z} = -x.
Somando,
\nabla\!\cdot\!\vec f = z + 1 +(-x) = z + 1 - x.

Passo 3

Calcular cada termo para o rotacional:
  1. Componente x: \displaystyle \frac{\partial f_3}{\partial y} - \frac{\partial f_2}{\partial z} = \frac{\partial(-x z)}{\partial y} - \frac{\partial(y)}{\partial z} = 0 - 0 = 0.
  2. Componente y: \displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial z} - \frac{\partial f_3}{\partial x} = \frac{\partial(x z)}{\partial z} - \frac{\partial(-x z)}{\partial x} = x - (-\,z) = x + z.
  3. Componente z: \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial y} = \frac{\partial(y)}{\partial x} - \frac{\partial(x z)}{\partial y} = 0 - 0 = 0.
    Logo,
\nabla\times\vec f = (\,0,\;x+z,\;0\,).

Resposta

Divergente: \displaystyle \nabla\!\cdot\!\vec f = z + 1 - x.
Rotacional: \displaystyle \nabla\times\vec f = (\,0,\;x+z,\;0\,).

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