QUESTÃO 4 - Calcule o divergente e o rotacional das seguintes funções
Na prova vai ser uma alternativa desse tipo só.
\quad \vec{f}(x, y)=(y ; x-y)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o campo vetorial em duas variáveis \vec f(x,y) = (\,y,\;x - y)
e precisamos calcular o divergente e o rotacional. O conteúdo aqui é derivadas parciais de componentes de um campo 2D.

Passo 2

Para calcular o divergente, usamos a definição
\nabla \cdot \vec f = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(f_1(x,y)\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_2(x,y)\bigr).
Aqui f_1(x,y)=y e f_2(x,y)=x-y, logo
\frac{\partial}{\partial x}(y) = 0, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(x - y) = -1.
Portanto
\nabla \cdot \vec f = 0 + (-1) = -1.

Passo 3

Para calcular o rotacional (no plano, conhecido também como componente z do rotor), usamos
\bigl(\nabla \times \vec f\bigr)\cdot \mathbf k = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(f_2(x,y)\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_1(x,y)\bigr).
Substituindo f_1 e f_2, temos
\frac{\partial}{\partial x}(x - y) = 1, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(y) = 1.
Logo
\bigl(\nabla \times \vec f\bigr)\cdot \mathbf k = 1 - 1 = 0.

Resposta

O divergente é -1 e o rotacional (componente z) é 0.

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