Actividade 2: Investigue na literatura problemas de aplicação de equações diferenciais de 1^{\text {a }} ordem. Seleccione 2 desses problemas, que sejam, contudo, referentes a casos de situações relevantes e complexas. Apresente a resolução de cada problema, com todos os passos cruciais e relevantes, e explicando o raciocínio usado em cada passo.

Passo 1

Vamos resolver um problema de mistura num tanque, que é típico de equações diferenciais de 1ª ordem. Precisamos modelar a quantidade de sal Q(t) (em kg) num tanque cujo volume varia porque a vazão de entrada difere da de saída. Usaremos separação de variáveis ou fator integrante e dados de taxas para obter Q(t).

Passo 2

Definimos as taxas: entrada de líquido a 5,L/min com concentração de sal 0,02,kg/L, saída a 3,L/min. O volume no tempo t é
V(t)=V_0 + (5-3)t = 100 + 2t\\ (\text{L}),
e a variação de sal obedece
\frac{dQ}{dt} = (\text{concentração in})\cdot(\text{vazão in}) - \frac{\text{vazão out}}{V(t)}\,Q =0,02\cdot5 - \frac{3}{100+2t}\,Q.çããã

Passo 3

Escrevemos
\frac{dQ}{dt} + \frac{3}{100+2t}\,Q = 0,1.
O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\!\int \frac{3}{100+2t}\,dt\Bigr) =\exp\!\Bigl(\tfrac{3}{2}\ln(100+2t)\Bigr) =(100+2t)^{3/2}.
Multiplicando a EDO por \mu(t) e integrando,
\frac{d}{dt}\bigl[(100+2t)^{3/2}Q\bigr] =0,1\,(100+2t)^{3/2} \quad\Longrightarrow\quad (100+2t)^{3/2}Q=\int 0,1\,(100+2t)^{3/2}dt + C.
Fazendo u=100+2t, du=2\,dt:
\int 0,1\,u^{3/2}\,\frac{du}{2} =0,05\int u^{3/2}du =0,05\cdot\frac{u^{5/2}}{5/2} =0,02\,u^{5/2}.
Logo
(100+2t)^{3/2}Q=0,02(100+2t)^{5/2}+C.

Passo 4

Usamos a condição inicial: em t=0, Q(0)=10,kg. Então
(100)^{3/2}\cdot10=0,02\,(100)^{5/2}+C \quad\Longrightarrow\quad 1000\cdot10=0,02\cdot100^2\cdot100^{1/2}+C
10000=0,02\cdot10000\cdot10+ C \quad\Longrightarrow\quad 10000=2000+ C \quad\Longrightarrow\quad C=8000.
Assim
Q(t) =\frac{0,02\,(100+2t)^{5/2}+8000}{(100+2t)^{3/2}} =0,02\,(100+2t)+\frac{8000}{(100+2t)^{3/2}}.
A concentração c(t)=Q(t)/V(t).

Passo 5

Interpretando, o termo 0,02\,(100+2t) cresce linearmente – mas dividido pelo volume gera um valor assintótico. O segundo termo decai como (100+2t)^{-3/2}, garantindo que Q(t) e c(t) convirjam a um estado estacionário.

Passo 6

Agora resolvemos a corrente num circuito RL em série submetido a uma tensão em degrau de V_0 a partir de t=0. É um problema de EDO linear não-homogênea: obtemos a corrente i(t).

Passo 7

Pela lei de Kirchhoff de tensões:
L\frac{di}{dt} + Ri = V_0,
onde L é indutância e R é resistência. Dividindo por L:
\frac{di}{dt} + \frac{R}{L}\,i = \frac{V_0}{L}.

Passo 8

O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\int \tfrac{R}{L}dt\Bigr) =e^{(R/L)t}.
Multiplicamos e integramos:
\frac{d}{dt}\bigl[e^{(R/L)t}i\bigr] =\frac{V_0}{L}e^{(R/L)t} \quad\Longrightarrow\quad e^{(R/L)t}i =\frac{V_0}{L}\int e^{(R/L)t}dt + C
=\frac{V_0}{L}\,\frac{L}{R}e^{(R/L)t}+C =\frac{V_0}{R}e^{(R/L)t}+C.

Passo 9

Condição inicial: antes do degrau, i(0)=0. Substituindo t=0:
1\cdot0=\frac{V_0}{R}\cdot1 + C \quad\Longrightarrow\quad C=-\frac{V_0}{R}.
Logo
e^{(R/L)t}i =\frac{V_0}{R}e^{(R/L)t}-\frac{V_0}{R} \quad\Longrightarrow\quad i(t)=\frac{V_0}{R}\Bigl(1-e^{-\,\tfrac{R}{L}t}\Bigr).

Passo 10

O resultado mostra que i(t) parte de zero e cresce exponencialmente até o valor de regime permanente V_0/R, com constante de tempo \tau=L/R.

Resposta

i(t)=\frac{V_0}{R}\Bigl(1-e^{-\tfrac{R}{L}t}\Bigr).

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