Actividade 2: Investigue na literatura problemas de aplicação de equações diferenciais de
ordem. Seleccione 2 desses problemas, que sejam, contudo, referentes a casos de situações relevantes e complexas. Apresente a resolução de cada problema, com todos os passos cruciais e relevantes, e explicando o raciocínio usado em cada passo.
Passo 1
Vamos resolver um problema de mistura num tanque, que é típico de equações diferenciais de 1ª ordem. Precisamos modelar a quantidade de sal
(em kg) num tanque cujo volume varia porque a vazão de entrada difere da de saída. Usaremos separação de variáveis ou fator integrante e dados de taxas para obter
.
Passo 2
Definimos as taxas: entrada de líquido a
,L/min com concentração de sal
,kg/L, saída a
,L/min. O volume no tempo
é
e a variação de sal obedece
Passo 3
Escrevemos
O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
e integrando,
Fazendo
,
:
Logo
Passo 4
Usamos a condição inicial: em
,
,kg. Então
Assim
A concentração
.
Passo 5
Interpretando, o termo
cresce linearmente – mas dividido pelo volume gera um valor assintótico. O segundo termo decai como
, garantindo que
e
convirjam a um estado estacionário.
Passo 6
Agora resolvemos a corrente num circuito RL em série submetido a uma tensão em degrau de
a partir de
. É um problema de EDO linear não-homogênea: obtemos a corrente
.
Passo 7
Pela lei de Kirchhoff de tensões:
onde
é indutância e
é resistência. Dividindo por
:
Passo 8
O fator integrante é
Multiplicamos e integramos:
Passo 9
Condição inicial: antes do degrau,
. Substituindo
:
Logo
Passo 10
O resultado mostra que
parte de zero e cresce exponencialmente até o valor de regime permanente
, com constante de tempo
.