Actividade 4: Investigue na literatura problemas de aplicação de equações diferenciais de
ordem. Seleccione 2 desses problemas, que sejam, contudo, referentes a casos de situações relevantes e complexas. Apresente a resolução de cada problema, com todos os passos cruciais e relevantes, explicando o raciocínio usado em cada passo.
Passo 1
No sistema massa-mola-amortecedor com força externa periódica, a variável de interesse é o deslocamento
da massa de massa
. O enunciado leva à equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
é o coeficiente de amortecimento,
a rigidez da mola,
a amplitude da força aplicada e
sua frequência angular. Para resolver, precisamos: (1) achar a solução geral da homogênea, (2) obter uma particular pela técnica dos coeficientes indeterminados e (3) aplicar condições iniciais para determinar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro resolvemos a homogênea associada
Montamos a equação característica
e calculamos as raízes
Dependendo do discriminante, o sistema é subamortecido
, criticamente amortecido
ou superamortecido
. No caso subamortecido, escrevemos
com
.
Passo 3
Buscamos uma solução particular do tipo
Derivando e substituindo na eq. não homogênea, obtemos um sistema para
e
:
Resolvendo,
Passo 4
A solução geral é
Impondo condições iniciais típicas
e
, determinamos
e
fazendo
e
igualando a derivada em
a
. Não detalhamos álgebra, mas assim fixamos a resposta completa em função de dados iniciais.
Passo 5
Interessam-nos especialmente o regime permanente e a amplitude de vibração. Define-se a amplitude estacionária
Observa-se pico de
próximo à frequência de ressonância
.
Passo 6
No circuito série RLC alimentado por uma fonte de tensão constante
em
, a carga
no capacitor satisfaz
onde
é a indutância,
a resistência e
a capacitância. Para resolver, faremos: (1) solução da homogênea, (2) particular constante, (3) aplicação de
e
.
Passo 7
A eq. homogênea associada é
com característica
cuja raízes são
Dependendo de
comparado a
, o circuito é subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido.
Passo 8
Como o termo certo é constante
, tentamos
(constante). Substituindo em
dá
Passo 9
A solução geral é
Usamos
para obter
e
dá
Resolvendo este sistema lineares em
, fixamos completamente
. A corrente é
.
Passo 10
No regime permanente
, apenas sobrevive o termo constante
A resposta transitória decai na taxa determinada pelos expoentes
.
Resposta
A carga no capacitor é
com
dados pela equação característica e
determinados por
. A corrente é
No regime permanente fica
e
.