Actividade 4: Investigue na literatura problemas de aplicação de equações diferenciais de 2{ }^{\text {a }} ordem. Seleccione 2 desses problemas, que sejam, contudo, referentes a casos de situações relevantes e complexas. Apresente a resolução de cada problema, com todos os passos cruciais e relevantes, explicando o raciocínio usado em cada passo.

Passo 1

No sistema massa-mola-amortecedor com força externa periódica, a variável de interesse é o deslocamento y(t) da massa de massa m. O enunciado leva à equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
m\,y''(t) + c\,y'(t) + k\,y(t) = F_{0}\cos(\omega t),
onde c é o coeficiente de amortecimento, k a rigidez da mola, F_{0} a amplitude da força aplicada e \omega sua frequência angular. Para resolver, precisamos: (1) achar a solução geral da homogênea, (2) obter uma particular pela técnica dos coeficientes indeterminados e (3) aplicar condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea associada
m\,y'' + c\,y' + k\,y = 0.
Montamos a equação característica
m\,r^{2} + c\,r + k = 0
e calculamos as raízes
r_{1,2} = \frac{-c \pm \sqrt{c^{2}-4mk}}{2m}.
Dependendo do discriminante, o sistema é subamortecido c^{2}<4mk, criticamente amortecido c^{2}=4mk ou superamortecido c^{2}>4mk. No caso subamortecido, escrevemos
y_{h}(t) = e^{-\frac{c}{2m}t}\bigl(C_{1}\cos(\Omega t) + C_{2}\sin(\Omega t)\bigr),
com \Omega = \sqrt{\frac{k}{m}-\bigl(\tfrac{c}{2m}\bigr)^{2}}.

Passo 3

Buscamos uma solução particular do tipo
y_{p}(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t).
Derivando e substituindo na eq. não homogênea, obtemos um sistema para A e B:
\begin{cases} (-m\omega^{2} + k)A + c\omega\,B = F_{0},\\\ (-m\omega^{2} + k)B - c\omega\,A = 0. \end{cases}
Resolvendo,
A = \frac{F_{0}(k - m\omega^{2})}{(k - m\omega^{2})^{2} + (c\omega)^{2}}, \quad B = \frac{F_{0}\,c\omega}{(k - m\omega^{2})^{2} + (c\omega)^{2}}.

Passo 4

A solução geral é
y(t) = y_{h}(t) + y_{p}(t).
Impondo condições iniciais típicas y(0)=y_{0} e y'(0)=v_{0}, determinamos C_{1} e C_{2} fazendo y(0)=C_{1}+A=y_{0} e y'(0) igualando a derivada em t=0 a v_{0}. Não detalhamos álgebra, mas assim fixamos a resposta completa em função de dados iniciais.

Passo 5

Interessam-nos especialmente o regime permanente e a amplitude de vibração. Define-se a amplitude estacionária
Y(\omega) = \sqrt{A^{2} + B^{2}} = \frac{F_{0}}{\sqrt{(k - m\omega^{2})^{2} + (c\omega)^{2}}}.
Observa-se pico de Y(\omega) próximo à frequência de ressonância \omega_{r} = \sqrt{\tfrac{k}{m}-\tfrac{c^{2}}{2m^{2}}}.

Passo 6

No circuito série RLC alimentado por uma fonte de tensão constante V_{0} em t\ge0, a carga q(t) no capacitor satisfaz
L\,q''(t) + R\,q'(t) + \frac{1}{C}\,q(t) = V_{0},
onde L é a indutância, R a resistência e C a capacitância. Para resolver, faremos: (1) solução da homogênea, (2) particular constante, (3) aplicação de q(0)=0 e i(0)=q'(0)=0.

Passo 7

A eq. homogênea associada é
L\,q'' + R\,q' + \frac{1}{C}\,q = 0
com característica
L\,r^{2} + R\,r + \frac{1}{C} = 0,
cuja raízes são
r_{1,2} = \frac{-R \pm \sqrt{R^{2}-4\frac{L}{C}}}{2L}.
Dependendo de R^{2} comparado a 4L/C, o circuito é subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido.

Passo 8

Como o termo certo é constante V_{0}, tentamos q_{p}(t)=Q (constante). Substituindo em L\cdot0 + R\cdot0 + Q/C = V_{0}
Q = C\,V_{0}.

Passo 9

A solução geral é
q(t) = q_{h}(t) + Q = C_{1}e^{r_{1}t} + C_{2}e^{r_{2}t} + C\,V_{0}.
Usamos q(0)=0 para obter
C_{1} + C_{2} + C\,V_{0} = 0
e i(0)=q'(0)=0
C_{1}\,r_{1} + C_{2}\,r_{2} = 0.
Resolvendo este sistema lineares em C_{1},C_{2}, fixamos completamente q(t). A corrente é i(t)=q'(t).

Passo 10

No regime permanente t\to\infty, apenas sobrevive o termo constante
\lim_{t\to\infty}q(t) = C\,V_{0}, \quad \lim_{t\to\infty}i(t) = 0.
A resposta transitória decai na taxa determinada pelos expoentes r_{1,2}.

Resposta

A carga no capacitor é
q(t) = C\,V_{0} + C_{1}e^{r_{1}t} + C_{2}e^{r_{2}t},
com r_{1,2} dados pela equação característica e C_{1},C_{2} determinados por q(0)=0,\,q'(0)=0. A corrente é
i(t) = q'(t) = C_{1}r_{1}e^{r_{1}t} + C_{2}r_{2}e^{r_{2}t}.
No regime permanente fica q(\infty)=C\,V_{0} e i(\infty)=0.

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