Acumula-se areia em um monte de forma cônica, à razão de 10 dm^3 / min. Se a altura do monte mantém-se sempre igual a duas vezes o raio da base, a que taxa cresce a altura do monte quando este é de 8 dm ?

Passo 1

O enunciado diz que a areia acumula num monte cônico e que o volume cresce à razão de dVdt=10 d m^3/min. Além disso, a altura h e o raio da base r satisfazem sempre h=2r. Queremos achar a taxa dhdt quando h=8 dm. Vamos usar taxas relacionadas e a fórmula do volume do cone.

Passo 2

A fórmula do volume de um cone é
V = 13pi r^2 h
Como h=2r, temos r = h2. Substituindo em V:
V = 13pil(h2r)^2 h = pi3h^24,h = pi12,h^3

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a t:
dVdt = pi12cdot 3h^2 ,dhdt = pi4,h^2 ,dhdt

Passo 4

Isolando dhdt e substituindo dVdt=10 e h=8:
dhdt = 1pi4,h^2,dVdt = 10pi4cdot 8^2 = 10pi4cdot 64 = 10cdot 464pi = 4064pi = 58pi

Resposta

dhdt = 58pi dm/min

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