Determine as integrais usando a regra da substituição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de
de 0 a 3 usando a regra da substituição. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrando funções exponenciais com substituição. Vamos precisar entender como escolher uma substituição adequada para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para facilitar a integração. Observamos que temos
no expoente de 3. Então, vamos escolher
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
. Se
, então:
Perceba que temos
na nossa integral original, o que é perfeito porque isso nos dá
.
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Aqui, alteramos os limites de integração de
para
. Quando
,
. Quando
,
. Então, nossa integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
. A integral de
é
, onde
é uma constante. Então, aplicando isso:
Passo 6
Como temos limites de integração definidos, vamos avaliar a integral de 0 a 9:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral
é igual a
.