Determine as integrais usando a regra da substituição.
integral0^3 2 x 3^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de 2x cdot 3^x^2 de 0 a 3 usando a regra da substituição. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrando funções exponenciais com substituição. Vamos precisar entender como escolher uma substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para facilitar a integração. Observamos que temos x^2 no expoente de 3. Então, vamos escolher u = x^2 .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du . Se u = x^2 , então:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Perceba que temos 2x , dx na nossa integral original, o que é perfeito porque isso nos dá du .

Passo 4

Substituímos u e du na integral original:
integral0^3 2x cdot 3^x^2 , dx = integralu(0)^u(3) 3^u , du
Aqui, alteramos os limites de integração de x para u . Quando x = 0 , u = 0^2 = 0 . Quando x = 3 , u = 3^2 = 9 . Então, nossa integral fica:
integral0^9 3^u , du

Passo 5

Agora, vamos integrar 3^u em relação a u . A integral de a^u é a^uln a + C , onde a é uma constante. Então, aplicando isso:
integral 3^u , du = 3^uln 3 + C

Passo 6

Como temos limites de integração definidos, vamos avaliar a integral de 0 a 9:
[ 3^uln 3 ]0^9 = 3^9ln 3 - 3^0ln 3
Sabemos que 3^0 = 1 , então:
3^9 - 1ln 3

Resposta

A integral integral0^3 2x cdot 3^x^2 , dx é igual a 3^9 - 1ln 3 .

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