Determine as integrais usando a regra da substituição.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral definida de até da função . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente usando a regra da substituição para integrais. Vamos ver como resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar a integral. Observando a expressão dentro da raiz quadrada, , parece um bom candidato para substituição.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral.
Passo 4
Calculando a derivada de :
Isso vem da regra da cadeia, onde derivamos resultando em .
Passo 5
Resolvendo para :
Agora, substituímos e na integral original.
Passo 6
Substituindo na integral:
Simplificando, as se cancelam com o denominador:
Passo 7
Agora, a integral ficou mais simples:
Sabemos que , então:
Passo 8
Integrando:
Agora, substituímos de volta para a variável original :
Passo 9
Finalmente, avaliamos a integral definida de até :