Determine as integrais usando a regra da substituição.
integral0^pi / 2 3 sen x cos x raiz1+3 sen^2 x d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral definida de 0 até pi2 da função 3 sin x cos x raiz1 + 3 sin^2 x. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente usando a regra da substituição para integrais. Vamos ver como resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar a integral. Observando a expressão dentro da raiz quadrada, 1 + 3 sin^2 x, parece um bom candidato para substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = 1 + 3 sin^2 x
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral.

Passo 4

Calculando a derivada de u:
dudx = 6 sin x cos x
Isso vem da regra da cadeia, onde derivamos 3 sin^2 x resultando em 6 sin x cos x.

Passo 5

Resolvendo para dx:
dx = du6 sin x cos x
Agora, substituímos u e dx na integral original.

Passo 6

Substituindo na integral:
integral 3 sin x cos x raizu cdot du6 sin x cos x
Simplificando, as 3 sin x cos x se cancelam com o denominador:
integral raizu2 du

Passo 7

Agora, a integral ficou mais simples:
12 integral raizu , du
Sabemos que integral raizu , du = 23 u^3/2, então:

Passo 8

Integrando:
12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2
Agora, substituímos u de volta para a variável original x:
13 (1 + 3 sin^2 x)^3/2

Passo 9

Finalmente, avaliamos a integral definida de 0 até pi2:
13 (1 + 3 sin^2 x)^3/2 |0^pi2
Calculando nos limites:
  • Para x = pi2:
1 + 3 sin^2 (pi2) = 1 + 3(1)^2 = 4
  • Para x = 0:
1 + 3 sin^2(0) = 1 + 0 = 1

Resposta

O valor da integral é 73.

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