As extremidades de um cocho de 2,5 m de comprimento são triângulos equiláteros cujos lados tem 60 cm de comprimento. Se a água está entrando no cocho à razão de 142 l / min, determine a taxa em que o nível da água estará subindo quando a profundidade for de 20 cm .

Passo 1

O enunciado dá um cocho em forma de prisma triangular com comprimento L=2,5 m e base um triângulo equilátero de lado s=0,60 m. A água entra a uma taxa
dVdt=142;L/min=0,142;m^3/min
e pede a taxa dfracdhdt quando a profundidade h=0,20 m. Para resolver, vamos: (i) relacionar a largura da água b com h por semelhança de triângulos; (ii) achar a área da seção transversal A(h); (iii) escrever o volume V(h) e diferenciar para obter dfracdVdt em termos de dfracdhdt.

Passo 2

No triângulo equilátero completo, a altura é
Hfull=sraiz32=0,60raiz32=0,30raiz3;m
Se a água tem profundidade h, a largura da superfície b satisfaz
bh=sHfull Longrightarrow b=sHfull,h =0,600,30raiz3,h =2raiz3,h

Passo 3

A área da seção triangular molhada é
A(h)=12,b,h =12,2raiz3,hcdot h =1raiz3,h^2

Passo 4

O volume de água é V=A(h)cdot L, logo
V(h)=Lraiz3;h^2 =2,5raiz3;h^2
Derivando em relação a t,
dVdt =2,5raiz3cdot 2h,dhdt =5hraiz3,dhdt
Isolando dfracdhdt,
dhdt =raiz35h;dVdt

Passo 5

Substituindo h=0,20 m e dfracdVdt=0,142 m ^3/min,
dhdt =raiz35cdot0,20;0,142 =raiz31;0,142 =0,142raiz3;m/min approx0,142times1,732 approx0,246;m/min
Em centímetros por minuto, isso dá
0,246;m/min=24,6;cm/min

Resposta

A altura da água está subindo a aproximadamente 0,246 m/min (ou 24,6 cm/min) quando a profundidade é de 20 cm.

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