Acumula-se areia em um monte de formato cônico. Em qualquer instante t>0, a altura do monte é igual ao raio de sua base e denota-se essa medida por a(t). Sabe-se que o volume de areia no monte cresce a uma taxa de 12 m^3 / h.
Determine a área da base, A(t), e o volume do monte, V(t), em função de a(t).

Passo 1

O enunciado diz que a pilha de areia forma um cone cujo raio da base e a altura são iguais e valem a(t). Precisamos expressar em função de a(t):
– a área da base do cone, que é um círculo de raio r=a(t),
– o volume do cone, usando a fórmula geométrica do volume de um cone.

Passo 2

A área da base é a área de um círculo de raio r=a(t). Como a fórmula da área de um círculo é
A = pi r^2,
basta substituir r=a(t):
A(t) = pi l(a(t)r)^2

Passo 3

O volume de um cone de raio r e altura h é dado por
V = 13,pi r^2 h
Aqui temos r=a(t) e h=a(t), então
V(t) = 13,pi l(a(t)r)^2 cdot a(t) = pi3,l(a(t)r)^3

Resposta

A(t) = pi l(a(t)r)^2
V(t) = pi3,l(a(t)r)^3

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