Utilize Integração por Partes para calcular as integrais a seguir.
® integral1^raiz3 arctan (1 / x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^raiz3arctanl(1/xr),dx
usando o método de integração por partes. Vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e da derivada de arctan(t), que é
ddtarctan(t)=11+t^2

Passo 2

Escolhemos em integral arctan(1/x),dx
u = arctanl(1/xr), dv = dx
Então
v = integral dv = x,
e para du usamos a regra da cadeia: com t=1/x,
ddxarctan(1/x) =11+(1/x)^2cdotl(-1/x^2r) =-1x^2+1
Logo
du = -dxx^2+1

Passo 3

Aplicando integração por partes:
integral arctan(1/x),dx = u,v - integral v,du = x,arctan(1/x) - integral xl(-1x^2+1r)dx = x,arctan(1/x) + integral xx^2+1,dx

Passo 4

Para completar a primitiva, calculamos
integral xx^2+1,dx
Fazendo a substituição simples w = x^2+1, dw = 2x,dx, temos
integral xx^2+1,dx =12integral dww =12lnl(x^2+1r)

Passo 5

Assim, uma primitiva de arctan(1/x) é
F(x) = x,arctan(1/x) + 12lnl(x^2+1r)
Vamos avaliar de x=1 até x=raiz3:
F(raiz3) =raiz3,arctan!l(1/raiz3r) +12lnl((raiz3)^2+1r) =raiz3,pi6+12ln4 =piraiz36+12ln4,
F(1) =1cdotarctan(1)+12ln2 =pi4+12ln2

Passo 6

O valor da integral é
F(raiz3)-F(1) =l(piraiz36+12ln4r) -l(pi4+12ln2r)
Agrupando termos em pi e em logaritmo:
piraiz36-pi4 +12l(ln4-ln2r) =pil(raiz36-14r) +12ln2 =(2raiz3-3)pi12+12ln2

Resposta

integral1^raiz3arctanl(1/xr),dx =(2raiz3-3)pi12+12ln2

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