Quais das seguintes integrais abaixo são impróprias? Por quê?
(a) integral-1^pi sec (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a integral
integral-1^pisec(x),dx
é imprópria. O conteúdo envolvido são integrais impróprias e, para isso, vamos verificar onde o integrando fica indefinido ou não limitado no intervalo de integração.

Passo 2

Observamos que
sec(x)=tfrac1cos(x)
só está definida quando cos(x)neq0. Logo, pontos de descontinuidade ocorrem nos x tais que
cos(x)=0

Passo 3

As raízes de cos(x)=0 ocorrem em
x = pi2 + kpi, kinZ
No intervalo [-1,pi] só aparece
x=pi2,
pois para k=0 temos pi/2in(-1,pi) e para k=pm1 sai fora do intervalo.

Passo 4

Como x=pi2 está dentro de (-1,pi) e em torno desse ponto sec(x)topminfty, a integral é imprópria do tipo II (descontinuidade interna). Para defini-la corretamente, escreve-se
integral-1^pisec(x),dx = limato(pi/2)^-integral-1^asec(x),dx + limbto(pi/2)^+integralb^pisec(x),dx

Resposta

A integral integral-1^pisec(x),dx é imprópria porque sec(x) tem descontinuidade (assíntota vertical) em x=pi2, que fica dentro do intervalo de integração.

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