Utilize Integração por Partes para calcular as integrais a seguir.
(m) integral e^x sen(pi x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral e^x sin(pi x),dx
usando integração por partes. Vamos aplicar o método duas vezes e introduzir uma integral auxiliar.

Passo 2

Defina
I = integral e^x sin(pi x),dx
Aplique integração por partes escolhendo
u = sin(pi x), dv = e^x,dx
Então
du = pi cos(pi x),dx, v = e^x,
e obtemos
I = e^x sin(pi x) - pi integral e^x cos(pi x),dx
Defina a integral auxiliar
J = integral e^x cos(pi x),dx

Passo 3

Para calcular J, use novamente partes com
u = cos(pi x), dv = e^x,dx
Assim
du = -pi sin(pi x),dx, v = e^x,
logo
J = e^x cos(pi x) + pi integral e^x sin(pi x),dx = e^x cos(pi x) + pi I

Passo 4

Volte à expressão de I e substitua J:
I = e^x sin(pi x) - pil(e^x cos(pi x) + pi Ir) = e^x sin(pi x) - pi e^x cos(pi x) - pi^2 I
Reagrupando em I:
I + pi^2 I = e^xl(sin(pi x) - pi cos(pi x)r) Longrightarrow (1+pi^2),I = e^xl(sin(pi x) - pi cos(pi x)r)

Passo 5

Isolando I obtemos
I = e^xl(sin(pi x) - pi cos(pi x)r)1+pi^2 + C

Resposta

integral e^x sin(pi x),dx = e^xl(sin(pi x) - pi cos(pi x)r)1+pi^2 + C

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