Acumula-se areia em um monte de formato cônico. Em qualquer instante t>0, a altura do monte é igual ao raio de sua base e denota-se essa medida por a(t). Sabe-se que o volume de areia no monte cresce a uma taxa de 12 m^3 / h.
Determine a taxa de variação da área da base quando a altura do monte é 6 m .

Passo 1

O enunciado descreve um monte de areia em forma de cone em que, em qualquer instante t>0, a altura e o raio da base são iguais a a(t). Sabemos que o volume cresce a uma taxa constante de 12 m^3/h. Pede-se a taxa de variação da área da base A(t) quando a=6 m. O conteúdo é taxas relacionadas e geometria de sólidos.

Passo 2

Expressamos o volume do cone em função de a:
V = 13,pi,a^3
Diferenciando em relação a t e aplicando regra da cadeia:
dVdt = 13,pi cdot 3,a^2;dadt = pi,a^2,dadt

Passo 3

Isolamos tfracdadt e usamos tfracdVdt=12:
dadt = 1pi,a^2,dVdt = 12pi,a^2
Quando a=6 m,
dadt|a=6 = 12picdot 6^2 = 1236pi = 13pim/h

Passo 4

A área da base é
A = pi,a^2
Diferenciando:
dAdt = 2,pi,a,dadt
Substituindo a=6 e tfracdadt=tfrac13pi:
dAdt|a=6 = 2,picdot 6 cdot 13pi = 4m^2/h

Resposta

A área da base cresce à razão de 4 m^2/h quando a altura é 6 m.

Exercícios relacionados