Acumula-se areia em um monte de formato cônico. Em qualquer instante , a altura do monte é igual ao raio de sua base e denota-se essa medida por . Sabe-se que o volume de areia no monte cresce a uma taxa de .
Determine a taxa de variação da área da base quando a altura do monte é 6 m .
Passo 1
O enunciado descreve um monte de areia em forma de cone em que, em qualquer instante , a altura e o raio da base são iguais a . Sabemos que o volume cresce a uma taxa constante de . Pede-se a taxa de variação da área da base quando . O conteúdo é taxas relacionadas e geometria de sólidos.
Passo 2
Expressamos o volume do cone em função de :
Diferenciando em relação a e aplicando regra da cadeia:
Passo 3
Isolamos e usamos :
Quando ,
Passo 4
A área da base é
A = pi,a^2
Diferenciando:
dAdt = 2,pi,a,dadt
Substituindo a=6 e tfracdadt=tfrac13pi:
dAdt|a=6 = 2,picdot 6 cdot 13pi = 4m^2/h
Resposta
A área da base cresce à razão de 4m^2/h quando a altura é 6m.