Utilize Integração por Partes para calcular as integrais a seguir.
(n) integral e^2 theta sen(3 theta) d theta;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral e^2thetasen(3theta),dtheta
usando o método de integração por partes. Vamos precisar aplicar partes duas vezes e resolver um sistema para a própria integral.

Passo 2

Defina
I = integral e^2thetasen(3theta),dtheta
Para a primeira parte, escolha u = e^2theta e dv = sen(3theta),dtheta. Então
du = 2e^2theta,dtheta, v = integral sen(3theta),dtheta = -13cos(3theta)
Pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du, obtém-se
I = -13e^2thetacos(3theta) - integral l(-tfrac13cos(3theta)r),2e^2theta,dtheta = -13e^2thetacos(3theta) + 23integral e^2thetacos(3theta),dtheta
Denote
J = integral e^2thetacos(3theta),dtheta,
assim
I = -13e^2thetacos(3theta) + 23J

Passo 3

Agora calcule J por partes. Tome u = e^2theta, dv = cos(3theta),dtheta. Então
du = 2e^2theta,dtheta, v = integral cos(3theta),dtheta = 13sen(3theta)
Logo
J = 13e^2thetasen(3theta) - integral 13sen(3theta),2e^2theta,dtheta = 13e^2thetasen(3theta) - 23I

Passo 4

Substitua a expressão de J em I:
I = -13e^2thetacos(3theta) + 23l(13e^2thetasen(3theta) - 23Ir)
Distribuindo:
I = -13e^2thetacos(3theta) + 29e^2thetasen(3theta) - 49I
Reúna I dos dois lados:
I + 49I = -13e^2thetacos(3theta) + 29e^2thetasen(3theta),
139I = e^2thetal(-tfrac13cos(3theta) + tfrac29sen(3theta)r),
I = 913e^2thetal(-tfrac13cos(3theta) + tfrac29sen(3theta)r) = e^2theta13l(2sen(3theta) - 3cos(3theta)r) + C

Resposta

integral e^2thetasen(3theta),dtheta = e^2theta13l(2sen(3theta) - 3cos(3theta)r) + C

Exercícios relacionados