Determine se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes encontre o valor das convergentes.
(j)
;
(j)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
e, se ela convergir, calcular seu valor. O único ponto de atenção é o limite superior infinito. Vamos testar o decaimento do integrando em
e depois encontrar uma primitiva para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Para verificar convergência no infinito, note que, quando
,
Como
converge, por comparação a nossa integral também converge.
Passo 3
Agora encontramos uma primitiva. Observe que
logo
Portanto,
Passo 4
Aplicando os limites de
até
e depois fazendo
,
Quando
,
, logo
Resposta
A integral converge e seu valor é
.