Determine se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes encontre o valor das convergentes.
(j) integral0^infty e^x(1+e^x)^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral0^infty e^x(1+e^x)^2,dx
e, se ela convergir, calcular seu valor. O único ponto de atenção é o limite superior infinito. Vamos testar o decaimento do integrando em xtoinfty e depois encontrar uma primitiva para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para verificar convergência no infinito, note que, quando xtoinfty,
e^x(1+e^x)^2 sim e^xe^2x = e^-x
Como integral0^inftye^-x,dx converge, por comparação a nossa integral também converge.

Passo 3

Agora encontramos uma primitiva. Observe que
ddxl[(1+e^x)^-1r] = -(1+e^x)^-2cdot e^x,
logo
e^x(1+e^x)^2 = -ddxl[(1+e^x)^-1r]
Portanto,
integral e^x(1+e^x)^2,dx = -(1+e^x)^-1 + C

Passo 4

Aplicando os limites de 0 até b e depois fazendo btoinfty,
integral0^be^x(1+e^x)^2,dx =l[-11+e^xr]0^b =-11+e^b+11+e^0 =-11+e^b+12
Quando btoinfty, 11+e^bto0, logo
integral0^inftye^x(1+e^x)^2,dx =12

Resposta

A integral converge e seu valor é tfrac12.

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