Deseja-se fabricar uma caixa (com tampa) de base quadrada, de lado x cm, e altura y cm, cujo volume deve ser igual a 250 cm^3. O custo do material da base e da tampa é de R por por , e o custo das laterais é de , e o custo das laterais é de por 1,00.
Usando os itens acima, determine as dimensões da caixa de menor custo.

Passo 1

Resumo do problema: a gente quer projetar uma caixa fechada com base quadrada de lado x e altura y, sujeita ao volume fixo de 250 cm^3. O material da base e da tampa custa R$ 2 por cm² e o das quatro laterais custa R$ 1 por cm². O objetivo é minimizar o custo total usando otimização de função.

Passo 2

Como o volume é dado por x^2y=250, isolamos a altura: y=250x^2

Passo 3

Agora montamos a função custo. A área da base e da tampa juntas é 2x^2 cm², a R$ 2/cm², dando custo 2/cm², dando custo . A área total das quatro laterais é A área total das quatro laterais é cm², a R$ 1/cm², dando custo cm², a R. Logo,
substituindo 4xy em y, obtemos a função de uma variável:
C(x,y)=4x^2+4xy

Passo 4

Para achar o mínimo, calculamos a derivada
C'(x)=8x-1000x^2,
igualamos a zero:
8x-1000x^2=0implies8x^3=1000implies x^3=125implies x=5 cm

Passo 5

Com x=5 cm, a altura é
y=2505^2=25025=10 cm
Além disso, a segunda derivada C''(x)=8+tfrac2000x^3>0 em x=5, confirmando que é mesmo um mínimo.

Passo 6

Concluímos que a caixa de menor custo tem lado da base x=5 cm e altura y=10 cm.

Resposta

Lado da base x = 5 cm e altura y = 10 cm.

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