Deseja-se fabricar uma caixa (com tampa) de base quadrada, de lado
, e altura
, cujo volume deve ser igual a
. O custo do material da base e da tampa é de
por
, e o custo das laterais é de
por
.
Usando os itens acima, determine as dimensões da caixa de menor custo.
Usando os itens acima, determine as dimensões da caixa de menor custo.
Passo 1
Resumo do problema: a gente quer projetar uma caixa fechada com base quadrada de lado
e altura
, sujeita ao volume fixo de
. O material da base e da tampa custa R$ 2 por cm² e o das quatro laterais custa R$ 1 por cm². O objetivo é minimizar o custo total usando otimização de função.
Passo 2
Como o volume é dado por
, isolamos a altura:
Passo 3
Agora montamos a função custo. A área da base e da tampa juntas é
cm², a R$ 2/cm², dando custo
. A área total das quatro laterais é
cm², a R$ 1/cm², dando custo
. Logo,
substituindo em
, obtemos a função de uma variável:
substituindo
Passo 4
Para achar o mínimo, calculamos a derivada
igualamos a zero:
Passo 5
Com
cm, a altura é
Além disso, a segunda derivada
Passo 6
Concluímos que a caixa de menor custo tem lado da base
cm e altura
cm.
Resposta
Lado da base x = 5 cm e altura y = 10 cm.