Un acumulador de 10 V se conecta a un circuito en serie RL con una inductancia de 0.75 Henrios y una resistencia de 15 Ohm. Si la corriente inicial es cero determina:
a) la corriente del circuito.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um acumulador (ou bateria) de 10 V ligado a um circuito em série que tem uma resistência de 15 Ohm e uma indutância de 0,75 Henrios. A corrente inicial nesse circuito é zero. O que precisamos descobrir é como a corrente no circuito se comporta ao longo do tempo, ou seja, qual é a expressão que descreve essa corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em circuitos RL (resistência e indutância), a corrente não atinge imediatamente seu valor máximo quando ligamos a bateria. Isso acontece por causa da indutância, que resiste a mudanças na corrente. Para descrever isso matematicamente, usamos a Lei de Kirchhoff das Tensões, que diz que a soma das quedas de tensão no circuito deve igualar a tensão da bateria.

Passo 3

Aplicando a Lei de Kirchhoff, temos:
V = L dIdt + R I
Aqui, é a tensão da bateria (10 V), é a indutância (0,75 H), é a resistência (15 Ohm) e é a corrente que queremos encontrar em função do tempo .

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para resolver a corrente dIdt + RL I = VL :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, usamos o fator integrante, que é .

Passo 5

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
e^RLt dIdt + RL e^RLt I = VL e^RLt
A esquerda da equação agora é a derivada de ddt ( I e^RLt ) = VL e^RLt , então podemos integrar ambos os lados:
I e^RLt = VR e^RLt + C
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Isolando I(t) = VR + C e^-RLt :
0 = VR + C
Agora, usamos a condição inicial para encontrar . Sabemos que quando , :
Então, .

Passo 7

Substituindo I(t) = VR ( 1 - e^-RLt ) na expressão de :

Resposta

A corrente do circuito é:
I(t) = 10,V15,Omega ( 1 - e^-15,Omega0,75,H , t ) = 23 ( 1 - e^-20,t ) A

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