Un acumulador de 10 V se conecta a un circuito en serie RL con una inductancia de 0.75 Henrios y una resistencia de 15 Ohm. Si la corriente inicial es cero determina:
a) la corriente del circuito.
a) la corriente del circuito.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um acumulador (ou bateria) de 10 V ligado a um circuito em série que tem uma resistência de 15 Ohm e uma indutância de 0,75 Henrios. A corrente inicial nesse circuito é zero. O que precisamos descobrir é como a corrente no circuito se comporta ao longo do tempo, ou seja, qual é a expressão que descreve essa corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em circuitos RL (resistência e indutância), a corrente não atinge imediatamente seu valor máximo quando ligamos a bateria. Isso acontece por causa da indutância, que resiste a mudanças na corrente. Para descrever isso matematicamente, usamos a Lei de Kirchhoff das Tensões, que diz que a soma das quedas de tensão no circuito deve igualar a tensão da bateria.
Passo 3
Aplicando a Lei de Kirchhoff, temos:
Aqui,
é a tensão da bateria (10 V),
é a indutância (0,75 H),
é a resistência (15 Ohm) e
é a corrente que queremos encontrar em função do tempo
.
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para resolver a corrente
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, usamos o fator integrante, que é
.
Passo 5
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada de
, então podemos integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolando
:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
:
Então,
.
Passo 7
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A corrente do circuito é: