b) Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana entre las gráficas de las funciones
y
alrededor del eje x
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região entre as curvas das funções $ f(x) = x^{2} $ e $ g(x) = \sqrt{8x} $ é girada em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar um conceito de Cálculo chamado método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os valores de $ x $ onde $ f(x) = g(x) $. Isso vai nos dar os limites de integração para o nosso cálculo.
Então, igualamos as duas funções:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, trazemos tudo para um lado da equação:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as curvas se encontram nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 2 $.
Passo 3
Agora que temos os limites de integração ($ x = 0 $ e $ x = 2 $), vamos configurar a integral para encontrar o volume. Usaremos o método dos discos, que envolve calcular a diferença entre as áreas das circunferências formadas pelas duas funções em cada ponto $ x $.
A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é:
Onde:
- $ g(x) $ é a função de cima ($ \sqrt{8x} $)
- $ f(x) $ é a função de baixo ($ x^{2} $)
- $ a $ e $ b $ são os limites de integração ($ 0 $ e $ 2 $ respectivamente)
Passo 4
Vamos substituir as funções e os limites na fórmula:
Simplificando os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos essa expressão de $ 0 $ a $ 2 $:
Calculando cada parte:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido gerado ao girar a região entre as curvas $ f(x) = x^{2} $ e $ g(x) = \sqrt{8x} $ em torno do eixo $ x $ é $ \frac{48\pi}{5} $ unidades cúbicas.