b) Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana entre las gráficas de las funciones f(x)=x^2 y g(x)=raiz8 x alrededor del eje x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região entre as curvas das funções $ f(x) = x^{2} $ e $ g(x) = \sqrt{8x} $ é girada em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar um conceito de Cálculo chamado método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os valores de $ x $ onde $ f(x) = g(x) $. Isso vai nos dar os limites de integração para o nosso cálculo.
Então, igualamos as duas funções:
x
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
f(x) = g(x)
Agora, trazemos tudo para um lado da equação:
x^2 = raiz8x
Isso nos dá duas soluções:
(x^2)^2 = (raiz8x)^2 x^4 = 8x
Então, as curvas se encontram nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

Passo 3

Agora que temos os limites de integração ($ x = 0 $ e $ x = 2 $), vamos configurar a integral para encontrar o volume. Usaremos o método dos discos, que envolve calcular a diferença entre as áreas das circunferências formadas pelas duas funções em cada ponto $ x $.
A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é:
x = 0
Onde:
  • $ g(x) $ é a função de cima ($ \sqrt{8x} $)
  • $ f(x) $ é a função de baixo ($ x^{2} $)
  • $ a $ e $ b $ são os limites de integração ($ 0 $ e $ 2 $ respectivamente)

Passo 4

Vamos substituir as funções e os limites na fórmula:
V = pi integral0^2 [ (raiz8x)^2 - (x^2)^2 ] dx
Simplificando os termos dentro da integral:
(raiz8x)^2 = 8x (x^2)^2 = x^4
Então, a integral fica:
V = pi integral0^2 (8x - x^4) dx
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (8x - x^4) dx = 8 integral x dx - integral x^4 dx = 8 ( x^22 ) - ( x^55 ) = 4x^2 - x^55
Agora, avaliamos essa expressão de $ 0 $ a $ 2 $:
0
Calculando cada parte:
2
Portanto:
V = pi [ (4(2)^2 - (2)^55 ) - (4(0)^2 - (0)^55 ) ]

Resposta

O volume do sólido gerado ao girar a região entre as curvas $ f(x) = x^{2} $ e $ g(x) = \sqrt{8x} $ em torno do eixo $ x $ é $ \frac{48\pi}{5} $ unidades cúbicas.

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