a) Determinar el centro de masa de una placa delgada plana con densidad uniforme , cuya superficie está acotada por las gráficas de y . Representar gráficamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o centro de massa de uma placa delgada plana com densidade uniforme . A superfície dessa placa é limitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente para calcular áreas e coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração. Vamos igualar e :
Multiplicando ambos os lados por 7 para eliminar o denominador:
Rearranjando:
Então, as soluções são e . Isso significa que as curvas se intersectam em e .
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da região limitada por essas curvas. A fórmula para a área entre duas curvas e , de a , é:
Substituindo as funções e os limites que encontramos:
Passo 4
Vamos resolver essa integral:
Calculando cada parte:
Portanto:
Então, a área da região é unidades de área.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa . Para uma densidade uniforme, essas coordenadas são dadas por:
x = 1A integrala^b x (f(x) - g(x)) , dx y = 12A integrala^b [ f(x)^2 - g(x)^2 ] , dx
Vamos calcular x primeiro.
Passo 6
Calculando x:
x = 1A integral0^7 x ( x - x^27 ) dx = 1496 integral0^7 ( x^2 - x^37 ) dx