a) Determinar el centro de masa de una placa delgada plana con densidad uniforme rho, cuya superficie está acotada por las gráficas de f(x)=x y g(x)=x^27. Representar gráficamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o centro de massa de uma placa delgada plana com densidade uniforme rho. A superfície dessa placa é limitada pelas curvas f(x) = x e g(x) = x^27. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente para calcular áreas e coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração. Vamos igualar f(x) e g(x):
x = x^27
Multiplicando ambos os lados por 7 para eliminar o denominador:
7x = x^2
Rearranjando:
x^2 - 7x = 0 x(x - 7) = 0
Então, as soluções são x = 0 e x = 7. Isso significa que as curvas se intersectam em x = 0 e x = 7.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da região limitada por essas curvas. A fórmula para a área A entre duas curvas f(x) e g(x), de a a b, é:
A = integrala^b (f(x) - g(x)) , dx
Substituindo as funções e os limites que encontramos:
A = integral0^7 ( x - x^27 ) dx

Passo 4

Vamos resolver essa integral:
A = integral0^7 ( x - x^27 ) dx = integral0^7 x , dx - 17 integral0^7 x^2 , dx
Calculando cada parte:
integral0^7 x , dx = [ x^22 ]0^7 = 7^22 - 0 = 492
integral0^7 x^2 , dx = [ x^33 ]0^7 = 3433 - 0 = 3433
Portanto:
A = 492 - 17 times 3433 = 492 - 34321 = 492 - 493 = 147 - 986 = 496
Então, a área da região é 496 unidades de área.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa (x, y). Para uma densidade uniforme, essas coordenadas são dadas por:
x = 1A integrala^b x (f(x) - g(x)) , dx y = 12A integrala^b [ f(x)^2 - g(x)^2 ] , dx
Vamos calcular x primeiro.

Passo 6

Calculando x:
x = 1A integral0^7 x ( x - x^27 ) dx = 1496 integral0^7 ( x^2 - x^37 ) dx
Resolvendo a integral:
integral0^7 x^2 dx = [ x^33 ]0^7 = 3433 integral0^7 x^3 dx = [ x^44 ]0^7 = 24014
Então:
x = 649 ( 3433 - 240128 ) = 649 ( 240121 - 240128 ) = 649 times 2401 times (4 - 3)84 = 649 times 240184 = 6 times 4984 = 29484 = 3.5
Então, x = 3.5.

Passo 7

Agora, vamos calcular y:
y = 12A integral0^7 ( x^2 - ( x^27 )^2 ) dx = 12 times 496 integral0^7 ( x^2 - x^449 ) dx
Calculando a integral:
integral0^7 x^2 dx = 3433 integral0^7 x^4 dx = [ x^55 ]0^7 = 168075
Portanto:
y = 698 ( 3433 - 16807245 ) = 349 ( 343 times 49147 - 16807245 ) = 349 times 16807735 = 5042136015 approx 1.4
Então, y approx 1.4.

Resposta

O centro de massa da placa está localizado nas coordenadas (x, y) = (3.5, 1.4).

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