Na Adição e na Multiplicação, a Propriedade do Fechamento vale para todos os conjuntos numéricos! Verdadeiro ou Falso? Justifique.
Passo 1
Então, a questão pergunta se a Propriedade do Fechamento para Adição e Multiplicação vale para todos os conjuntos numéricos. Vamos precisar entender o que é a Propriedade do Fechamento e conhecer os diferentes conjuntos numéricos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é a Propriedade do Fechamento. Basicamente, um conjunto numérico é fechado sob uma operação (como adição ou multiplicação) se, ao aplicar essa operação entre quaisquer dois elementos do conjunto, o resultado também pertence ao mesmo conjunto. Matemáticamente, para um conjunto $ S $ ser fechado sob uma operação $ \ast $, temos que:
Passo 3
Agora, vamos analisar os principais conjuntos numéricos:
- Números Naturais ($ \mathbb{N} $): 0, 1, 2, 3, …
- Números Inteiros ($ \mathbb{Z} $): …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
- Números Racionais ($ \mathbb{Q} $): Frações como $ \frac{1}{2} $, $ \frac{3}{4} $, etc.
- Números Reais ($ \mathbb{R} $): Incluem todos os números racionais e irracionais.
- Números Complexos ($ \mathbb{C} $): Números da forma $ a + bi $, onde $ i $ é a unidade imaginária.
Passo 4
Vamos verificar a Propriedade do Fechamento para Adição e Multiplicação em cada conjunto:
- Números Naturais ($ \mathbb{N} $):
- Adição: Somar dois naturais dá outro natural. Exemplo: $ 2 + 3 = 5 $.
- Multiplicação: Multiplicar dois naturais também dá outro natural. Exemplo: $ 2 \times 3 = 6 $.
- Números Inteiros ($ \mathbb{Z} $):
- Adição: Somar dois inteiros dá outro inteiro.
- Multiplicação: Multiplicar dois inteiros dá outro inteiro.
- Números Racionais ($ \mathbb{Q} $):
- Adição: Somar duas frações dá outra fração.
- Multiplicação: Multiplicar duas frações dá outra fração.
- Números Reais ($ \mathbb{R} $):
- Adição: Somar dois reais dá outro real.
- Multiplicação: Multiplicar dois reais dá outro real.
- Números Complexos ($ \mathbb{C} $):
- Adição: Somar dois complexos dá outro complexo.
- Multiplicação: Multiplicar dois complexos dá outro complexo.
Passo 5
Como vemos, em todos esses conjuntos numéricos, tanto a adição quanto a multiplicação respeitam a Propriedade do Fechamento. Isso significa que, independentemente de qual conjunto estamos trabalhando dentro desses principais, sempre que somamos ou multiplicamos dois elementos, o resultado permanece dentro do mesmo conjunto.
Resposta
Verdadeiro.