Na Adição e na Multiplicação, a Propriedade do Fechamento vale para todos os conjuntos numéricos! Verdadeiro ou Falso? Justifique.

Passo 1

Então, a questão pergunta se a Propriedade do Fechamento para Adição e Multiplicação vale para todos os conjuntos numéricos. Vamos precisar entender o que é a Propriedade do Fechamento e conhecer os diferentes conjuntos numéricos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é a Propriedade do Fechamento. Basicamente, um conjunto numérico é fechado sob uma operação (como adição ou multiplicação) se, ao aplicar essa operação entre quaisquer dois elementos do conjunto, o resultado também pertence ao mesmo conjunto. Matemáticamente, para um conjunto $ S $ ser fechado sob uma operação $ \ast $, temos que:
S

Passo 3

Agora, vamos analisar os principais conjuntos numéricos:
  • Números Naturais ($ \mathbb{N} $): 0, 1, 2, 3, …
  • Números Inteiros ($ \mathbb{Z} $): …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
  • Números Racionais ($ \mathbb{Q} $): Frações como $ \frac{1}{2} $, $ \frac{3}{4} $, etc.
  • Números Reais ($ \mathbb{R} $): Incluem todos os números racionais e irracionais.
  • Números Complexos ($ \mathbb{C} $): Números da forma $ a + bi $, onde $ i $ é a unidade imaginária.

Passo 4

Vamos verificar a Propriedade do Fechamento para Adição e Multiplicação em cada conjunto:
  • Números Naturais ($ \mathbb{N} $):
    • Adição: Somar dois naturais dá outro natural. Exemplo: $ 2 + 3 = 5 $.
    • Multiplicação: Multiplicar dois naturais também dá outro natural. Exemplo: $ 2 \times 3 = 6 $.
  • Números Inteiros ($ \mathbb{Z} $):
    • Adição: Somar dois inteiros dá outro inteiro.
    • Multiplicação: Multiplicar dois inteiros dá outro inteiro.
  • Números Racionais ($ \mathbb{Q} $):
    • Adição: Somar duas frações dá outra fração.
    • Multiplicação: Multiplicar duas frações dá outra fração.
  • Números Reais ($ \mathbb{R} $):
    • Adição: Somar dois reais dá outro real.
    • Multiplicação: Multiplicar dois reais dá outro real.
  • Números Complexos ($ \mathbb{C} $):
    • Adição: Somar dois complexos dá outro complexo.
    • Multiplicação: Multiplicar dois complexos dá outro complexo.

Passo 5

Como vemos, em todos esses conjuntos numéricos, tanto a adição quanto a multiplicação respeitam a Propriedade do Fechamento. Isso significa que, independentemente de qual conjunto estamos trabalhando dentro desses principais, sempre que somamos ou multiplicamos dois elementos, o resultado permanece dentro do mesmo conjunto.

Resposta

Verdadeiro.

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