Considere a função f(x, y, z)=x^2+y^2-2 y e ponto P0=(2,2). Determine:
A direção na qual a taxa de variação de f é máxima.

Passo 1

A função dada é f(x,y,z)=x^2+y^2-2y, mas como não há dependência em z e o ponto fornecido é P0=(2,2), interpretamos f como função de duas variáveis f(x,y)=x^2+y^2-2y. O conteúdo principal aqui é o gradiente, pois a direção de máxima taxa de variação de uma função diferenciável num ponto é dada pelo vetor gradiente nesse ponto.
Para encontrar o gradiente, lembramos que ele é o vetor das derivadas parciais: nabla f(x,y) = l(partial f/partial x,;partial f/partial yr). A razão é que a derivada direcional em uma direção unitária u é Duf = nabla fcdotu, e esse produto escalar atinge seu máximo quando u é paralelo a nabla f.

Passo 2

Agora calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2x,
partial fpartial y = 2y - 2

Passo 3

Em seguida, avaliamos o gradiente em P0=(2,2):
nabla f(2,2) = (2cdot2,;2cdot2 - 2) = (4,2)

Passo 4

Portanto, a direção de máxima taxa de variação é dada pelo vetor gradiente (4,2). Se quisermos um vetor unitário nessa direção, normalizamos:
lVert(4,2)rVert = raiz4^2 + 2^2 = raiz20 = 2raiz5,
umáx = 12raiz5(4,2) = l(2raiz5,1raiz5r)á

Resposta

A direção de máxima variação é dada pelo gradiente (4,2), e o vetor unitário nessa direção é l(tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r).

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