Considere a função
e ponto
. Determine:
A direção na qual a taxa de variação de
é máxima.
A direção na qual a taxa de variação de
Passo 1
A função dada é
, mas como não há dependência em
e o ponto fornecido é
, interpretamos
como função de duas variáveis
. O conteúdo principal aqui é o gradiente, pois a direção de máxima taxa de variação de uma função diferenciável num ponto é dada pelo vetor gradiente nesse ponto.
Para encontrar o gradiente, lembramos que ele é o vetor das derivadas parciais: . A razão é que a derivada direcional em uma direção unitária
é
, e esse produto escalar atinge seu máximo quando
é paralelo a
.
Para encontrar o gradiente, lembramos que ele é o vetor das derivadas parciais:
Passo 2
Agora calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Em seguida, avaliamos o gradiente em
:
Passo 4
Portanto, a direção de máxima taxa de variação é dada pelo vetor gradiente
. Se quisermos um vetor unitário nessa direção, normalizamos:
Resposta
A direção de máxima variação é dada pelo gradiente
, e o vetor unitário nessa direção é
.