Adicionar a linha 1 de à linha 2 produz . Adicionar a coluna 1 à coluna 2 produz . Uma combinação das colunas de ( ou ?) é também uma combinação das colunas de . Quais duas matrizes têm o mesmo espaço de colunas ?

Passo 1

O enunciado dá três matrizes
A=1&22&4, B=1&23&6, C=1&32&6
e pede para comparar os seus espaços de colunas (colunas como vetores em R^2).

Passo 2

Analisando A: as colunas de A são
a1=(1,2) e a2=(2,4).
Note que
a2=2,a1
Logo o espaço de colunas de A é
Col(A)=span(1,2)

Passo 3

Analisando B: as colunas de B são
b1=(1,3) e b2=(2,6).
Aqui também
b2=2,b1,
então
Col(B)=span(1,3),
que é uma reta diferente daquela de Col(A).

Passo 4

Analisando C: as colunas de C são
c1=(1,2) e c2=(3,6).
Vemos que
c2=3,c1
e portanto
Col(C)=span(1,2)
Este é precisamente o mesmo subespaço gerado por Col(A).

Resposta

As matrizes A e C têm o mesmo espaço de colunas.

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