As colunas de A B são combinações das colunas de A. Isto significa: O espaço coluna de A B está contido no (possivelmente igual ao) espaço coluna de A. Dê um exemplo onde os espaços coluna de A e A B não são iguais.

Passo 1

O enunciado nos lembra que, para matrizes compatíveis, as colunas de AB são combinações lineares das colunas de A, ou seja
col(AB)subseteqcol(A)
Queremos dar um exemplo em que essa inclusão seja estrita: col(AB)neqcol(A).

Passo 2

Escolhemos
A = 1 & 2 [6pt]3 & 4, B = 1 & 0 [3pt]0 & 0
Calculemos
AB = 1 & 2 [3pt]3 & 4 1 & 0 [3pt]0 & 0 = 1cdot1 + 2cdot0 & 1cdot0 + 2cdot0 [3pt] 3cdot1 + 4cdot0 & 3cdot0 + 4cdot0 = 1 & 0 [3pt]3 & 0

Passo 3

Determinar os espaços coluna:
  • Como det A = 1cdot4 - 2cdot3 = -2 neq 0, a matriz A é invertível e
col(A)=R^2
  • As colunas de AB=1&03&0 são 13 e 00, logo
col(AB) =spanl13r,
uma reta própria de R^2.
Portanto
col(AB)=span(1,3)^top subsetneqqR^2 =col(A),
mostrando a inclusão estrita.

Resposta

Um exemplo concreto é
A=1&23&4, B=1&00&0,
pois
col(A)=R^2
e
col(AB)=span(1,3)^top,
logo col(AB)subsetneqqcol(A).

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