Se adicionarmos uma coluna extra ba uma matriz A, então o espaço coluna aumenta a menos que . Dê um exemplo onde o espaço coluna aumenta e um exemplo onde não aumenta. Por que A x=b é solúvel exatamente quando o espaço coluna não aumenta-é o mesmo para A e [llA & b] ?

Passo 1

O enunciado trata do efeito de adicionar uma coluna extra a uma matriz A sobre o seu espaço coluna, e da relação disso com a solubilidade do sistema Ax=b. Vamos precisar do conceito de espaço coluna e da interpretação de Ax como combinação linear das colunas de A.

Passo 2

O espaço coluna de Anão aumenta quando a coluna extra já está contida no espaço coluna original. Em outras palavras, se chamarmos a nova coluna de c, então não há aumento de espaço coluna exatamente quando
cin Col(A),
isto é, c é combinação linear das colunas de A.

Passo 3

Exemplo onde o espaço coluna aumenta:
A = 1 & 0 0 & 1 0 & 0 , c = 001
Aqui cnotin Col(A), pois Col(A) é o subespaço gerado por (1,0,0),(0,1,0). Ao montar [A;c], o espaço coluna passa de um plano em R^3 para todo R^3.

Passo 4

Exemplo onde o espaço coluna não aumenta:
A = 1 & 0 0 & 1 0 & 0 , c = 2100+3010 = 230
Neste caso cin Col(A), então Col([A;c])=Col(A).

Passo 5

A equação
Ax = b
é solúvel se e somente se bin Col(A), pois todo vetor da forma Ax é combinação linear das colunas de A. Logo, adicionar b como coluna em A não expande o espaço coluna exatamente quando Ax=b tem solução.

Resposta

A coluna extra não aumenta o espaço coluna exatamente quando ela é combinação linear das colunas de A.
Exemplo onde aumenta:
A = 1 & 0 0 & 1 0 & 0 , c = 001
Exemplo onde não aumenta:
A = 1 & 0 0 & 1 0 & 0 , c = 230
A equação Ax=b é solúvel se e somente se binCol(A), isto é, se ao adicionar b como coluna não se expandir o espaço coluna.

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