Suponha que A x=b e A y=b^* são ambos solúveis. Então A z=b+b^* é solúvel. O que é z ? Isso se traduz em: Se b e b^* estão no espaço coluna C(A), então b+b^* está em C(A).

Passo 1

O enunciado diz que existem x e y tais que Ax=b e Ay=b^*, e pergunta por z que resolve Az=b+b^*. O conteúdo aqui é o espaço coluna de A e a linearidade da transformação associada à multiplicação por matriz.

Passo 2

Como A é uma transformação linear, vale a propriedade
A(x+y) = Ax + Ay
Isso sugere escolher z = x + y.

Passo 3

Substituindo z = x + y temos
Az = A(x+y) = Ax + Ay = b + b^*,
logo z é solução de Az = b + b^*, mostrando assim a soma fechada em C(A).

Resposta

z = x + y

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