Se adicionássemos o ponto \left(x_{3}, y_{3}\right)=(5,129) à tabela, qual seria o grau do novo polinômio interpolador? Justifique sua resposta e comente sobre o comportamento esperado da interpolação.

Passo 1

O enunciado pergunta: se juntarmos ao nosso conjunto de dados o ponto \bigl(x_{3},y_{3}\bigr)=(5,129), qual será o grau do polinômio interpolador que passa por todos os pontos da tabela? O conteúdo é interpolação polinomial, e vamos usar a propriedade fundamental de que um polinômio que interpola N pontos distintos tem grau no máximo N-1.

Passo 2

Antes de inserir o novo ponto tínhamos 3 pontos na tabela, digamos \bigl(x_{0},y_{0}\bigr), \bigl(x_{1},y_{1}\bigr) e \bigl(x_{2},y_{2}\bigr). O polinômio interpolador único que passa por esses 3 pontos tem grau no máximo
3 - 1 = 2.

Passo 3

Ao adicionar o ponto \bigl(x_{3},y_{3}\bigr)=(5,129), o número total de pontos passa a ser
N = 4.
Logo o novo polinômio interpolador, que deve passar pelos 4 pontos distintos, terá grau no máximo
N - 1 = 4 - 1 = 3.

Passo 4

O aumento do grau de 2 para 3 significa que agora teremos um polinômio cúbico em vez de um quadrático. Em geral, quanto mais pontos incluímos, maior o grau do polinômio e maior a oscilação que ele pode apresentar entre os nós, especialmente perto das extremidades (fenômeno de Runge). Portanto, embora o polinômio cúbico ajuste exatamente todos os 4 pontos, seu comportamento fora ou entre esses nós pode ficar menos estável e mais sensível a ruídos nos valores y_{i}.

Resposta

O novo polinômio interpolador terá grau 3.

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