Se adicionássemos o ponto
à tabela, qual seria o grau do novo polinômio interpolador? Justifique sua resposta e comente sobre o comportamento esperado da interpolação.
Passo 1
O enunciado pergunta: se juntarmos ao nosso conjunto de dados o ponto
, qual será o grau do polinômio interpolador que passa por todos os pontos da tabela? O conteúdo é interpolação polinomial, e vamos usar a propriedade fundamental de que um polinômio que interpola
pontos distintos tem grau no máximo
.
Passo 2
Antes de inserir o novo ponto tínhamos 3 pontos na tabela, digamos
,
e
. O polinômio interpolador único que passa por esses 3 pontos tem grau no máximo
Passo 3
Ao adicionar o ponto
, o número total de pontos passa a ser
Logo o novo polinômio interpolador, que deve passar pelos 4 pontos distintos, terá grau no máximo
Passo 4
O aumento do grau de 2 para 3 significa que agora teremos um polinômio cúbico em vez de um quadrático. Em geral, quanto mais pontos incluímos, maior o grau do polinômio e maior a oscilação que ele pode apresentar entre os nós, especialmente perto das extremidades (fenômeno de Runge). Portanto, embora o polinômio cúbico ajuste exatamente todos os 4 pontos, seu comportamento fora ou entre esses nós pode ficar menos estável e mais sensível a ruídos nos valores
.
Resposta
O novo polinômio interpolador terá grau 3.