Adicionou-se uma certa quantidade de \mathrm{KNO}_{3}(\mathrm{MM}=101,10 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}) a 20 g de água e observou-se uma variação de temperatura de fusão de 8,52{ }^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo-se que o grau de dissociação foi de 95 \%, qual a massa de sal adicionada? (Resp.: \mathrm{m}=4,75 \mathrm{~g} )

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Massa molar do sal: MM(\mathrm{KNO}_3)=101,10\\ \mathrm{g/mol}.
  • Massa do solvente (água): m_{\text{água}}=20\\ \mathrm{g}á.
  • Variação da temperatura de fusão (depressão do ponto de congelamento): \Delta T_f=8,52\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Grau de dissociação: \alpha=95\% = 0,95.
  • Pede-se: a massa do sal adicionada (ou seja, m_{\text{sal}} em gramas).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Quando se dissolve um soluto não volátil em um solvente, o ponto de fusão (congelamento) do solvente abaixa; essa mudança é uma propriedade coligativa e depende da concentração de partículas em solução, não da identidade química.
  • A relação matemática da depressão do ponto de congelamento é
\Delta T_f = i\,K_f\,m,
onde:
  • \Delta T_f é a queda do ponto de fusão em ^\circ\mathrm{C};
  • i é o fator de van 't Hoff (número efetivo de partículas formadas por fórmula unitária do soluto na solução);
  • K_f é a constante crioscópica do solvente (para água K_f=1,86\\ ^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{kg}\cdot\mathrm{mol}^{-1});
  • m é a molalidade do soluto em mol por quilograma de solvente: m=\dfrac{n_{\text{soluto}}}{\text{kg solvente}}.
Explicando molalidade de forma bem prática:
  • A quantidade de mols do soluto é n_{\text{soluto}}=\dfrac{m_{\text{sal}}}{MM}, com m_{\text{sal}} em gramas e MM em \mathrm{g/mol}.
  • A massa do solvente em quilogramas é \dfrac{20\\ \mathrm{g}}{1000}=0,020\\ \mathrm{kg}.
  • Logo,
m=\dfrac{m_{\text{sal}}/MM}{0,020}.

Passo 3

Como determinar o fator de van 't Hoff i quando há dissociação parcial:
  • Para um eletrólito que se dissocia em \nu partículas por unidade formula (por exemplo, \mathrm{KNO}_3 \to \mathrm{K}^+ + \mathrm{NO}_3^- tem \nu=2), se a fração dissociada for \alpha então o número médio de partículas por fórmula unitária é
i = (1-\alpha)\cdot 1 + \alpha\cdot \nu = 1 + \alpha(\nu-1).
  • Intuição: cada unidade não dissociada conta como 1 partícula; cada unidade dissociada conta como \nu partículas; faz-se a média ponderada.

Passo 4

Aplicando ao caso \mathrm{KNO}_3:
  • Aqui \nu=2 e \alpha=0,95, portanto
i = 1 + 0,95\cdot(2-1) = 1 + 0,95 = 1,95.

Passo 5

Expressar a molalidade m em função da massa desconhecida m_{\text{sal}}:
m=\dfrac{m_{\text{sal}}/MM}{0,020}=\dfrac{m_{\text{sal}}}{MM\cdot 0,020}.
Substituindo MM=101,10\\ \mathrm{g/mol}:
m=\dfrac{m_{\text{sal}}}{101,10\cdot 0,020}=\dfrac{m_{\text{sal}}}{2,022}\quad\big(\text{unidade: mol}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\big).

Passo 6

Substituir i, K_f e m na equação da depressão e isolar m_{\text{sal}}:
\Delta T_f = i\,K_f\,m
\Delta T_f = i\,K_f\,\dfrac{m_{\text{sal}}}{101,10\cdot 0,020}
Isolando m_{\text{sal}}:
m_{\text{sal}} = \dfrac{\Delta T_f \cdot 101,10\cdot 0,020}{i\,K_f} = \dfrac{\Delta T_f \cdot 2,022}{i\,K_f}.

Passo 7

Cálculo numérico passo a passo:
  • Numerador: \Delta T_f\cdot 2,022 = 8,52 \cdot 2,022.
    • 8,52\cdot 2,022 = 17,22744.
  • Denominador: i\cdot K_f = 1,95 \cdot 1,86.
    • 1,95\cdot 1,86 = 3,627.
  • Dividindo:
m_{\text{sal}} = \dfrac{17,22744}{3,627}\approx 4,7499\\ \mathrm{g}.
Arredondando de forma adequada, obtém-se m_{\text{sal}}\approx 4,75\\ \mathrm{g}.

Resposta

m=4,75\\ \mathrm{g}

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