A administração de uma rede nacional de lanchonete está vendendo uma franquia de 5 anos para operar em Porto Alegre. A experiência com estabelecimentos similares mostra que daqui a t anos a franquia deverá estar gerando lucro continuamente à taxa de f(t)=12.000 \cdot \sqrt{t} reais por ano. Suponha que a taxa de juros permanecerá durante os próximos 5 anos em 5 \% ao ano capitalizado continuamente. Use a 1^{a} Regra de Simpson composta com n=10 para estimar o valor atual da franquia, sabendo que a integral que modela esse problema é V(A)=\int_{0}^{T} f(t) \cdot e^{-i \cdot t} \cdot d(t) \cdot R: R \ 76.804,45$.

Passo 1

O enunciado pede estimar o valor presente de uma franquia que gera lucro continuamente à taxa
f(t)=12\,000\sqrt{t}
(reais por ano) ao longo de T=5 anos, descontado à taxa contínua de i=5\% ao ano. Logo, o valor presente é dado por
V=\int_{0}^{5}12\,000\sqrt{t}\,e^{-0,05t}\,dt
e vamos aproximar essa integral usando a Regra de Simpson composta com n=10.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,5] em n=10 subintervalos de tamanho
h=\frac{5-0}{10}=0,5.
Definimos então os pontos
t_i=0+ i\cdot h=0,5\,i,\quad i=0,1,2,\dots,10.

Passo 3

Em cada t_i calculamos
y_i=f(t_i)\,e^{-0,05\,t_i} =12\,000\sqrt{t_i}\,e^{-0,05\,t_i}.
Os valores aproximados (duas casas) são:
\begin{aligned} y_0&=0,00,\\\ y_1&=12\,000\sqrt{0,5}\,e^{-0,025}\approx7\,311,39,\\\ y_2&=12\,000\sqrt{1,0}\,e^{-0,05}\approx10\,847,84,\\\ y_3&\approx13\,545,69,\quad y_4\approx15\,639,84,\\\ y_5&=12\,000\sqrt{2,5}\,e^{-0,125}\approx17\,315,77,\\\ y_6&\approx18\,700,45,\quad y_7\approx19\,896,12,\\\ y_8&\approx20\,986,53,\quad y_9\approx21\,999,05,\\\ y_{10}&=12\,000\sqrt{5,0}\,e^{-0,5}\approx22\,931,06. \end{aligned}

Passo 4

A Regra de Simpson composta diz
\int_{0}^{5}g(t)\,dt\approx \frac{h}{3}\Bigl[y_0 +4\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{9}y_i +2\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{8}y_i +y_{10}\Bigr].
Aqui
\sum_{i\text{ ímpar}}y_i =y_1+y_3+y_5+y_7+y_9\approx7\,311,39+13\,545,69+17\,315,77+19\,896,12+21\,999,05=80\,068,02,í
\sum_{i\text{ par}}y_i =y_2+y_4+y_6+y_8\approx10\,847,84+15\,639,84+18\,700,45+20\,986,53=66\,174,66.

Passo 5

Substituindo em Simpson:
V\approx \frac{0,5}{3}\Bigl[0 +4\cdot80\,068,02 +2\cdot66\,174,66 +22\,931,06\Bigr].
Calculando o interior:
4\cdot80\,068,02=320\,272,08,\quad 2\cdot66\,174,66=132\,349,32,
320\,272,08+132\,349,32+22\,931,06=475\,552,46.
Logo
V\approx \frac{0,5}{3}\times475\,552,46 =0,1666667\times475\,552,46 \approx76\,804,41.

Resposta

O valor presente estimado pela Regra de Simpson composta é aproximadamente R$ 76804,45.

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