1. Depois de uma injeção de 6 mg de contraste no coração, as leituras da concentração de contraste a intervalos de 2 segundos são mostrados na tabela abaixo. Use a 1^{\text {a }} Regra de Simpson composta para estimular a capacidade cardíaca. R: 0,0704 \mathrm{~L} / \mathrm{s}.
Tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12
C(t)(mg/L) 0 1,9 3,3 5,1 7,6 7,1 5,8
Tempo (s) 14 16 18 20 22 24
C(t)(mg/L) 4,7 3,3 2,1 1,1 0,5 0

Passo 1

O enunciado fornece as leituras da concentração de contraste C(t) (em \mathrm{mg/L}) em intervalos de 2,s de t=0 a t=24,s após injeção de 6,mg de contraste. Pede-se estimar o fluxo cardíaco (capacidade cardíaca) usando a Regra composta de Simpson, ou seja, integrar numericamente \int_{0}^{24}C(t)\,dt e depois calcular
Q = \frac{\text{dose}}{\displaystyle\int_{0}^{24}C(t)\,dt}\,.
O conteúdo da matéria envolvido é integração numérica (Regra de Simpson).

Passo 2

A Regra composta de Simpson para n subintervalos uniformes de largura h é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_{0}) + f(x_{n}) + 4\sum_{k=1,\,k\text{ ímpar}}^{n-1}f(x_{k}) + 2\sum_{k=2,\,k\text{ par}}^{n-2}f(x_{k})\Bigr]\,.í

Passo 3

Aqui a=0, b=24, o número de subintervalos é n=12 (pois temos 13 pontos) e
h = \frac{b - a}{n} = \frac{24 - 0}{12} = 2\text{ s}.
Denotando f_k = C(t_k) em t_k = 2k, temos os valores:
\begin{aligned} f_0&=0,\quad f_1=1{,}9,\quad f_2=3{,}3,\quad f_3=5{,}1,\quad f_4=7{,}6,\\\ f_5&=7{,}1,\quad f_6=5{,}8,\quad f_7=4{,}7,\quad f_8=3{,}3,\quad f_9=2{,}1,\\\ f_{10}&=1{,}1,\quad f_{11}=0{,}5,\quad f_{12}=0. \end{aligned}

Passo 4

Calculamos as somas necessárias:
Soma dos f_k com k ímpar ( 1,3, 5,7, 9,11):
\sum_{\substack{k=1\k\text{ ímpar}}}^{11}f_k =1{,}9+5{,}1+7{,}1+4{,}7+2{,}1+0{,}5 =21{,}4.
Soma dos f_k com k par ( 2,4, 6,8, 10):
\sum_{\substack{k=2\k\text{ par}}}^{10}f_k =3{,}3+7{,}6+5{,}8+3{,}3+1{,}1 =21{,}1.

Passo 5

Aplicando Simpson:
\int_{0}^{24}C(t)\,dt \approx \frac{h}{3}\Bigl[f_0+f_{12}+4\,(21{,}4)+2\,(21{,}1)\Bigr] = \frac{2}{3}\bigl[0+0+85{,}6+42{,}2\bigr] =\frac{2}{3}\times127{,}8 =85{,}2\quad(\mathrm{mg\cdot s/L}).

Passo 6

A capacidade cardíaca Q em \mathrm{L/s} é a razão entre a dose ( 6,mg) e a área calculada:
Q = \frac{6}{85{,}2} \approx 0{,}0704\;\mathrm{L/s}.

Resposta

0{,}0704\\ \mathrm{L/s}

Exercícios relacionados