Um economista modela a demanda de um certo produto pela função p=D(q)=\frac{100}{q^{2}+q+1}, de acordo com a qual q centenas de unidades são vendidas quando o preço unitário é p reais. Use a 1^{\text {a }} Regra de Simpson composta com \mathrm{n}=6, para estimar o excedente do consumidor quando o nível de produção é q_{0}. \mathrm{E}(\mathrm{C})=\int_{0}^{\mathrm{q}_{0}} \mathrm{D}(\mathrm{q}) \cdot \mathrm{d}(\mathrm{q})-\mathrm{p} \cdot \mathrm{q}_{0} \cdot \mathrm{R}: 86,6301.

Passo 1

O enunciado dá a função de demanda
D(q)=\frac{100}{q^{2}+q+1},
onde q (em centenas de unidades) varia de 0 a q_{0}, e quer estimar o excedente do consumidor
E\text{(C)}=\int_{0}^{q_{0}}D(q)\,\mathrm{d}q \;-\;p\cdot q_{0},
usando a Regra de Simpson composta com n=6. Aqui p=D(q_{0}) é o preço na quantidade q_{0}. Vamos supor q_{0}=5 (centenas), já que o resultado fornecido é 86,6301.

Passo 2

Calcular o preço de mercado p=D(q_{0}):
p=D(5)=\frac{100}{5^{2}+5+1}=\frac{100}{31}\approx3{,}2258.

Passo 3

Determinar o passo
h=\frac{q_{0}-0}{n}=\frac{5}{6}\approx0{,}8333.

Passo 4

Obter os nós q_{i}=i\,h e avaliar D(q_{i}):
\begin{align*} q_{0}&=0,\quad &D(q_{0})&=100,\\ q_{1}&=\tfrac{5}{6},\quad &D(q_{1})&\approx 39,56,\\ q_{2}&=\tfrac{10}{6},\quad &D(q_{2})&\approx 18,35,\\ q_{3}&=\tfrac{15}{6},\quad &D(q_{3})&\approx 10,26,\\ q_{4}&=\tfrac{20}{6},\quad &D(q_{4})&\approx 6,48,\\ q_{5}&=\tfrac{25}{6},\quad &D(q_{5})&\approx 4,44,\\ q_{6}&=5,\quad &D(q_{6})&\approx 3,23. \end{align*}

Passo 5

Aplicar a Regra de Simpson composta:
\int_{0}^{5}D(q)\,\mathrm{d}q \approx \frac{h}{3}\Bigl[D(q_{0}) +4\bigl(D(q_{1})+D(q_{3})+D(q_{5})\bigr) +2\bigl(D(q_{2})+D(q_{4})\bigr) +D(q_{6})\Bigr].
Substituindo os valores:
\int_{0}^{5}D(q)\,\mathrm{d}q \approx \frac{5/6}{3}\Bigl[100 +4(39{,}56+10{,}26+4{,}44) +2(18{,}35+6{,}48) +3{,}23\Bigr] \approx102{,}759.

Passo 6

Calcular o excedente do consumidor:
E\text{(C)}\approx102{,}759 \;-\; p\cdot q_{0} =102{,}759 \;-\;3{,}2258\times5 \approx86{,}6301.

Resposta

86{,}6301 reais.

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