Um administrador de uma universidade coleta dados sobre uma amostra aleatória de âmbito nacional de 230 alunos de cursos de Administração de Empresas e encontra que 54 de tais estudantes têm diplomas de Técnico em Contabilidade. Usando um intervalo de confiança de 90 \%, estimar a proporção nacional de estudantes que possuem diplomas de Técnico de Contabilidade.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 90 % para a proporção nacional p de estudantes que têm diploma de Técnico em Contabilidade, com base em uma amostra aleatória de n=230 alunos, dos quais x=54 possuem esse diploma. O conteúdo envolvido é o cálculo de intervalo de confiança para proporção populacional usando aproximação normal (condições de amostra grande).

Passo 2

Calculamos a proporção amostral \hat p:
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{54}{230} \approx 0{,}2348.

Passo 3

Verificamos as condições para usar a aproximação normal:
  1. Amostra aleatória e independente – garantido pelo enunciado.
  2. Contagens suficientes:
    \;n\hat p = 230\cdot0{,}2348 \approx 54>5 e
    \;n(1-\hat p)=230\cdot0{,}7652\approx176>5.
    Logo, podemos usar o intervalo baseado na distribuição normal padrão.

Passo 4

Para 90 % de confiança, o nível de significância é \alpha=0{,}10 e
\alpha/2=0{,}05. O valor crítico z_{\alpha/2} satisfaz
P\bigl(Z>z_{\alpha/2}\bigr)=0{,}05
onde Z\sim N(0,1). Assim,
z_{\alpha/2}=z_{0{,}05}\approx1{,}645.

Passo 5

Calculamos o erro padrão (EP) de \hat p:
\mathrm{EP} = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}2348\,(0{,}7652)}{230}} \approx0{,}02794.

Passo 6

O intervalo de confiança é
\hat p \pm z_{\alpha/2}\,\mathrm{EP} \;\Longrightarrow\; 0{,}2348 \pm 1{,}645\cdot0{,}02794 \;\approx\;0{,}2348 \pm0{,}04598.
Portanto, os limites são
\text{limite inferior} \approx0{,}2348-0{,}0460=0{,}1888, \quad \text{limite superior} \approx0{,}2348+0{,}0460=0{,}2808.

Resposta

Com 90 % de confiança, a proporção nacional de estudantes com diploma de Técnico em Contabilidade está entre aproximadamente
0{,}1888\quad\text{e}\quad0{,}2808,
isto é, entre 18,9 % e 28,1 %.

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