Em certa população de indivíduos adultos de sexo masculino a estatura média é de 168 cm com desvio padrão de 8 cm . Foi feita uma amostra com 15 indivíduos e encontrado um novo desvio padrão de 11 cm . Com nível de significância de 5%, é possível afirmar que a variabilidade das alturas medidas é maior na amostra feita do que na população?

Passo 1

O enunciado diz que numa população de adultos do sexo masculino a estatura tem desvio padrão populacional de 8 cm. Foi obtida uma amostra de tamanho n=15 com desvio padrão amostral s=11 cm. Com nível de significância de 5\%, queremos testar se a variabilidade das alturas na amostra é maior do que a variabilidade populacional. O conteúdo envolvido é o teste de hipóteses para a variância de uma distribuição normal, usando a distribuição qui-quadrado.

Passo 2

Definimos as hipóteses:
H_0: \sigma^2 = 8^2 = 64
H_1: \sigma^2 > 64
A estatística de teste é
Q = \frac{(n-1)\,s^2}{\sigma_0^2}
que sob H_0 segue a distribuição \chi^2 com n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Substituindo n=15, s=11 e \sigma_0^2=64, temos
Q = \frac{(15-1)\cdot 11^2}{64} = \frac{14\cdot121}{64} = 14\cdot1,890625 =26,46875\approx26,47.

Passo 4

O valor crítico para \alpha=0,05 e \nu=n-1=14 graus de liberdade é
\chi^2_{0,95;14}\approx23,685.
Rejeitamos H_0 se Q > \chi^2_{0,95;14}.

Passo 5

Como Q\approx26,47 é maior que 23,685, rejeitamos H_0. Há evidência, ao nível de 5\%, de que a variância (e portanto o desvio padrão) na amostra é maior do que na população.

Resposta

Sim. Com nível de significância de 5\%, rejeita-se H_0 e conclui-se que a variabilidade das alturas na amostra é significativamente maior do que na população.

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