Uma administradora de um hospital deseja melhorar o tempo de espera do pronto-socorro e o primeiro passo é estimar o tempo médio de espera. Ela coleta uma amostra aleatória com 456 pacientes e determina o tempo (em minutos) entre a chegada até o paciente ser visto por um médico. O intervalo de confiança de 95% construído usando a amostra é 69.977 a 74.821 minutos, calculado usando a aproximação pela normal. Responda verdadeiro/falso para as afirmações a seguir.
Para diminuir a margem de erro do intervalo de confiança de 95% para a metade do que é agora, seria preciso dobrar o tamanho da amostra.
Para diminuir a margem de erro do intervalo de confiança de 95% para a metade do que é agora, seria preciso dobrar o tamanho da amostra.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão fala sobre uma administradora que quer melhorar o tempo de espera no pronto-socorro. Ela coletou dados de 456 pacientes para estimar o tempo médio de espera e construiu um intervalo de confiança de 95% entre 69.977 e 74.821 minutos. Precisamos verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Para diminuir a margem de erro do intervalo de confiança de 95% para a metade do que é agora, seria preciso dobrar o tamanho da amostra.”
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é margem de erro. A margem de erro (ME) em um intervalo de confiança indica o quanto o valor estimado pode variar. Ela depende de dois fatores principais: o tamanho da amostra (n) e o desvio padrão dos dados.
Passo 3
A fórmula da margem de erro para um intervalo de confiança baseado na distribuição normal é:
Onde:
-
é o valor crítico da distribuição normal (para 95% de confiança, ) -
é o desvio padrão da população -
é o tamanho da amostra
Passo 4
Observamos que a margem de erro é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra (
). Isso quer dizer que, se quisermos reduzir a margem de erro pela metade (
), precisamos aumentar
em um fator de 2.
Matematicamente:
Passo 5
Para que a nova margem de erro seja a metade da original, o tamanho da nova amostra (
) deve satisfazer:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Isso significa que, para reduzir a margem de erro pela metade, precisamos quadruplicar o tamanho da amostra, ou seja, multiplicar por 4, e não apenas dobrar.
Resposta
Falso.