Uma administradora de um hospital deseja melhorar o tempo de espera do pronto-socorro e o primeiro passo é estimar o tempo médio de espera. Ela coleta uma amostra aleatória com 456 pacientes e determina o tempo (em minutos) entre a chegada até o paciente ser visto por um médico. O intervalo de confiança de 95% construído usando a amostra é 69.977 a 74.821 minutos, calculado usando a aproximação pela normal. Responda verdadeiro/falso para as afirmações a seguir.
Para diminuir a margem de erro do intervalo de confiança de 95% para a metade do que é agora, seria preciso dobrar o tamanho da amostra. square

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão fala sobre uma administradora que quer melhorar o tempo de espera no pronto-socorro. Ela coletou dados de 456 pacientes para estimar o tempo médio de espera e construiu um intervalo de confiança de 95% entre 69.977 e 74.821 minutos. Precisamos verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Para diminuir a margem de erro do intervalo de confiança de 95% para a metade do que é agora, seria preciso dobrar o tamanho da amostra.”

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é margem de erro. A margem de erro (ME) em um intervalo de confiança indica o quanto o valor estimado pode variar. Ela depende de dois fatores principais: o tamanho da amostra (n) e o desvio padrão dos dados.

Passo 3

A fórmula da margem de erro para um intervalo de confiança baseado na distribuição normal é:
ME = z times sigmaraizn
Onde:
  • é o valor crítico da distribuição normal (para 95% de confiança, )
  • é o desvio padrão da população
  • é o tamanho da amostra

Passo 4

Observamos que a margem de erro é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra ( ME2 = z times sigmaraiz2n ). Isso quer dizer que, se quisermos reduzir a margem de erro pela metade ( ), precisamos aumentar em um fator de 2.
Matematicamente:

Passo 5

Para que a nova margem de erro seja a metade da original, o tamanho da nova amostra ( raiznnovo = 2 times raizn ) deve satisfazer:
nnovo = (2)^2 times n = 4n
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 6

Isso significa que, para reduzir a margem de erro pela metade, precisamos quadruplicar o tamanho da amostra, ou seja, multiplicar por 4, e não apenas dobrar.

Resposta

Falso.

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