admita que as alturas das mulheres tenham distribuição normal com média \mu=63,6 in. e desvio padrão \sigma=2,5 in… Admita também que uma mulher seja escolhida aleatoriamente. Trace um gráfico e ache a probabilidade pedida.
5. As alturas das dançarinas em um espetáculo no New York City’s Radio City Music Hall devem estar entre 65,5 \mathrm{in}\\. e 68,0 \mathrm{in}\\.. Escolhida aleatoriamente uma mulher, determine a probabilidade de ela poder ser uma dançarina nesse espetáculo.

Passo 1

O enunciado diz que a altura X de uma mulher segue a distribuição normal com média \mu=63,6 in. e desvio padrão \sigma=2,5 in. Queremos a probabilidade de que, escolhida aleatoriamente uma mulher, sua altura caia entre 65,5 in. e 68,0 in. Isto é,
P(65{,}5 \le X \le 68{,}0).

Passo 2

Para visualizar, desenhamos a curva de densidade da normal N(63{,}6,\,2{,}5^2) e sombreiamos a região entre 65{,}5 e 68{,}0. Para calcular esse pedaço, padronizamos os limites:
z_1 = \frac{65{,}5 - 63{,}6}{2{,}5} = \frac{1{,}9}{2{,}5} = 0{,}76,
z_2 = \frac{68{,}0 - 63{,}6}{2{,}5} = \frac{4{,}4}{2{,}5} = 1{,}76.

Passo 3

A probabilidade procurada é
P(65{,}5 \le X \le 68{,}0) = P(0{,}76 \le Z \le 1{,}76) = \Phi(1{,}76) - \Phi(0{,}76),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão.

Passo 4

Consultando a tabela da normal padrão:
\Phi(1{,}76)\approx0{,}9594 e \Phi(0{,}76)\approx0{,}7764.
Logo,
P(65{,}5 \le X \le 68{,}0) \approx 0{,}9594 - 0{,}7764 = 0{,}1830.

Resposta

A probabilidade de uma mulher ter altura entre 65{,}5 in. e 68{,}0 in. é aproximadamente 0{,}1830 (ou 18{,}3\%).

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