Determine a área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelos gráficos
Informações relevantes fornecidas:
Pergunta explícita: calcular a área da região entre a curva e o eixo
para
indo de
a
.
Passo 2
Ideia para resolver (explicação didática): a área sob uma curva
entre
e
é dada pela integral definida
Aqui
é a altura da figura em cada
e
representa um pequeno incremento em
; somando infinitesimais retângulos de base
e altura
obtemos a área total (é a definição geométrica da integral definida). Não precisa decorar além disso: em provas use essa fórmula quando a região é limitada verticalmente por
e
e verticalmente por
e
.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
,
e
. Assim a área procurada é
Expliquei antes por que escolhemos esses limites: são exatamente as retas verticais que limitam a região.
Passo 4
Calcular a integral exige achar uma primitiva de
. Há uma regra simples: para constante
,
Breve justificativa (útil na prova): se
então
e
; assim
No nosso caso
, então uma primitiva é
.
Passo 5
Avaliação da integral definida usando a primitiva:
Simplificações importantes:
e
. Portanto
Passo 6
Interpretação final e incentivo: a área da região pedida é
. Mandou bem chegando até aqui — se ficar nervoso na prova, lembra: transformar a região em
e lembrar da primitiva de
resolve muita coisa.