Determine a área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas
y=e^{2 x}, \quad y=0, x=0, x=\ln 3

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelos gráficos
y=e^{2x},\qquad y=0,\qquad x=0,\qquad x=\ln 3.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) } y=e^{2x}\\ \text{é a curva superior},\qquad \text{(ii) } y=0\\ \text{é o eixo }x,éé
\text{(iii) } x=0\\ \text{e}\\ x=\ln 3\\ \text{são as retas verticais que limitam a esquerda e a direita.}ã
Pergunta explícita: calcular a área da região entre a curva e o eixo x para x indo de 0 a \ln 3.

Passo 2

Ideia para resolver (explicação didática): a área sob uma curva y=f(x) entre x=a e x=b é dada pela integral definida
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.Á
Aqui f(x) é a altura da figura em cada x e dx representa um pequeno incremento em x; somando infinitesimais retângulos de base dx e altura f(x) obtemos a área total (é a definição geométrica da integral definida). Não precisa decorar além disso: em provas use essa fórmula quando a região é limitada verticalmente por x=a e x=b e verticalmente por y=f(x) e y=0.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: f(x)=e^{2x}, a=0 e b=\ln 3. Assim a área procurada é
\text{Área}=\int_{0}^{\ln 3} e^{2x}\,dx.Á
Expliquei antes por que escolhemos esses limites: são exatamente as retas verticais que limitam a região.

Passo 4

Calcular a integral exige achar uma primitiva de e^{2x}. Há uma regra simples: para constante a\neq0,
\int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}\,e^{ax}+C.
Breve justificativa (útil na prova): se u=ax então du=a\,dx e dx=\dfrac{du}{a}; assim
\int e^{ax}\,dx=\int e^{u}\frac{du}{a}=\frac{1}{a}e^{u}+\!C=\frac{1}{a}e^{ax}+C.
No nosso caso a=2, então uma primitiva é \dfrac{1}{2}e^{2x}.

Passo 5

Avaliação da integral definida usando a primitiva:
\int_{0}^{\ln 3} e^{2x}\,dx=\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{\ln 3} =\frac{1}{2}\bigl(e^{2\ln 3}-e^{0}\bigr).
Simplificações importantes: e^{2\ln 3}=e^{\ln(3^{2})}=3^{2}=9 e e^{0}=1. Portanto
\int_{0}^{\ln 3} e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}(9-1)=\frac{8}{2}=4.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: a área da região pedida é 4. Mandou bem chegando até aqui — se ficar nervoso na prova, lembra: transformar a região em \int_a^b f(x)\,dx e lembrar da primitiva de e^{ax} resolve muita coisa.

Resposta

4

Exercícios relacionados