Admita que a densidade de construção num projecto de urbanização tem um comportamento Normal. Uma amostra aleatória de 51 lotes desse projecto forneceu os seguintes dados:
\sum_{i=1}^{51} x_{i}=227.2 ; \quad \sum_{i=1}^{51} x_{i}^{2}=2242.6 .
  1. Indique uma estimativa pontual para a densidade média de construção e respectiva variância.
  2. Deduza, calcule e interprete um intervalo de confiança a 95 \% para a densidade média de contrução.
    resposta
\text { 1: } \left.\bar{x}=4.4549 ; s^{2}=24.609 . \quad \text { 2: }\right] 3.0934 ; 5.8164[

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma amostra aleatória de tamanho n=51 de densidades de construção, admitindo que a população é Normal com média \mu e variância \sigma^2. São fornecidos
\sum_{i=1}^{51}x_i = 227{,}2, \qquad \sum_{i=1}^{51}x_i^2 = 2242{,}6.
O que se pede é (1) uma estimativa pontual para \mu e para \sigma^2 e (2) um intervalo de confiança de 95\% para \mu. Para isso vamos usar as fórmulas da estatística inferencial clássica: estimador da média amostral, estimador da variância amostral e intervalo de confiança baseado na distribuição t de Student.

Passo 2

O estimador da média amostral é
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
e o estimador da variância amostral (não enviesado) é
s^2 = \frac{1}{n-1}\Biggl(\sum_{i=1}^n x_i^2 - \frac{\bigl(\sum_{i=1}^n x_i\bigr)^2}{n}\Biggr).
Substituindo os valores dados:
\bar x = \frac{227{,}2}{51} \approx 4{,}4549, \qquad s^2 = \frac{2242{,}6 - \dfrac{(227{,}2)^2}{51}}{50} \approx 24{,}609.

Passo 3

Para construir o intervalo de confiança de 95\% para \mu quando \sigma é desconhecida, usamos
\bar x \pm t_{n-1,\,0{,}975}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{n-1,\,0{,}975} é o quantil superior de 2{,}5\% da distribuição t com n-1=50 graus de liberdade. Temos
t_{50,\,0{,}975}\approx 2{,}009, \quad s = \sqrt{24{,}609}\approx 4{,}9607, \quad \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{4{,}9607}{\sqrt{51}}\approx 0{,}6946.
Logo, a margem de erro é
2{,}009 \times 0{,}6946 \approx 1{,}3615,
e o intervalo de confiança fica
\bigl[\,4{,}4549 - 1{,}3615,\;4{,}4549 + 1{,}3615\,\bigr] =\bigl[\,3{,}0934,\;5{,}8164\,\bigr].

Resposta

1: \bar x = 4,4549; s^2 = 24,609
2: 95\% IC para \mu: \,]3,0934;\,5,8164[

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