Um estudo é realizado para determinar a relação entre uma certa droga e certa anomalia em embriões de frango. Injetou-se 50 ovos fertilizados com a droga no quarto dia de incubação. No vigésimo dia de incubação, os embriões foram examinados e 7 apresentaram a anomalia. Suponha que deseja-se averiguar se a proporção verdadeira é inferior a 25 \% com um nível de significância de 0,05 . R: rejeita-se H0 ao nível de 5 \% de significância

Passo 1

O enunciado faz um teste de hipóteses para a proporção verdadeira p de embriões com anomalia, usando uma amostra de tamanho n=50 em que ocorreram x=7 casos. Queremos testar
H_0:\;p=0{,}25 \quad\text{versus}\quad H_1:\;p<0{,}25
ao nível de significância \alpha=0{,}05. Vamos usar a aproximação normal para proporções.

Passo 2

Calculemos a proporção amostral
\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{7}{50} = 0{,}14.

Passo 3

Verificamos as condições para usar a aproximação normal:
n p_0 = 50\cdot0{,}25 = 12{,}5>5 \quad\text{e}\quad n(1-p_0)=50\cdot0{,}75=37{,}5>5.
A estatística de teste é
Z = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}\,.

Passo 4

Substituindo p_0=0{,}25, \hat{p}=0{,}14 e n=50:
Z = \frac{0{,}14 - 0{,}25}{\sqrt{\dfrac{0{,}25\cdot0{,}75}{50}}} = \frac{-0{,}11}{\sqrt{0{,}1875/50}} = \frac{-0{,}11}{0{,}06124} \approx -1{,}80.

Passo 5

Como o teste é unilateral à esquerda com \alpha=0{,}05, o valor crítico é
z_{\alpha} = z_{0{,}05} = -1{,}645.

Passo 6

Comparando Z\approx -1{,}80 com z_{0{,}05}=-1{,}645, vemos que
Z < z_{0{,}05}\,,
logo caímos na região de rejeição de H_0.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%, ou seja, há evidência amostral de que a proporção verdadeira é inferior a 25\%.

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