Questão 6
18. Foram coletados uma amostra \mathrm{n}=90 dos diâmetros à altura do peito (DAP) de uma determinada espécie arbórea, que apresentam média 25,2 \mathrm{~cm}. Sabe-se que a população desta espécie tem desvio-padrão 6cm, encontrar o intervalo de confiança a 95% e 99% .

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=90 com média amostral \bar x =25,2 cm. Sabe-se que o desvio-padrão populacional é \sigma=6 cm. Queremos construir intervalos de confiança para a média populacional \mu em dois níveis de confiança 95\% e 99\%, usando a distribuição normal padrão, já que \sigma é conhecida.

Passo 2

Para um nível de confiança de 95\%, o coeficiente crítico da normal padrão é z_{0,025}=1,96. A margem de erro é
E_{95} = z_{0,025}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =1,96\;\frac{6}{\sqrt{90}}.
Calculando:
\sqrt{90}\approx9{,}4868, \quad \frac{6}{9{,}4868}\approx0{,}6325, \quad E_{95}=1,96\times0{,}6325\approx1{,}24.
Logo, o intervalo de confiança a 95\% é
\bigl[\bar x - E_{95},\;\bar x + E_{95}\bigr] =\bigl[25,2-1,24,\;25,2+1,24\bigr] =[23,96,\;26,44].

Passo 3

Para um nível de confiança de 99\%, o coeficiente crítico da normal padrão é z_{0,005}\approx2,5758. A margem de erro é
E_{99} = z_{0,005}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =2,5758\;\frac{6}{\sqrt{90}} =2,5758\times0{,}6325\approx1{,}63.
Portanto, o intervalo de confiança a 99\% é
\bigl[\bar x - E_{99},\;\bar x + E_{99}\bigr] =\bigl[25,2-1,63,\;25,2+1,63\bigr] =[23,57,\;26,83].

Resposta

95\%: [23,96,\;26,44] cm 99\%: [23,57,\;26,83] cm

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