Estuda-se o conteúdo de nicotina de duas marcas de cigarros ( A e B ), obtendo-se os seguintes resultados.
A: 17; 20; 23; 20
B: 18; 20; 21; 22; 24
Admitindo que o conteúdo de nicotinas das duas marcas tem distribuição normal e que as variâncias populacionais são iguais, \operatorname{com} \alpha=0,05, pode-se afirmar que existe alguma diferença significativa no conteúdo médio de nicotina nas duas marcas? R: Não se rejeita \mathrm{H}_{0}

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras de conteúdo de nicotina de marcas A e B, de tamanhos n_{A}=4 e n_{B}=5, e pede para testar, com nível de significância \alpha=0,05, se há diferença significativa entre as médias populacionais. Como assumimos distribuição normal e variâncias iguais, usaremos o teste t de Student para duas amostras independentes com variância agrupada (pooled).

Passo 2

Calculamos as médias amostrais de cada marca:
\bar x_{A} = \frac{17 + 20 + 23 + 20}{4} = 20,
\bar x_{B} = \frac{18 + 20 + 21 + 22 + 24}{5} = 21.

Passo 3

Calculamos as variâncias amostrais s_{A}^{2} e s_{B}^{2}:
Para A, as diferenças ao quadrado são 9,0,9,0 somando 18, então
s_{A}^{2} = \frac{18}{4 - 1} = 6.
Para B, as diferenças ao quadrado são 9,1,0,1,9 somando 20, então
s_{B}^{2} = \frac{20}{5 - 1} = 5.

Passo 4

Calculamos a variância agrupada s_{p}^{2} e o desvio padrão agrupado s_{p}:
s_{p}^{2} = \frac{(n_{A}-1)\,s_{A}^{2} + (n_{B}-1)\,s_{B}^{2}}{n_{A} + n_{B} - 2} = \frac{3\cdot6 + 4\cdot5}{4+5-2} = \frac{18 + 20}{7} = \frac{38}{7} \approx 5{,}4286.
s_{p} = \sqrt{s_{p}^{2}} \approx 2{,}329.
O erro-padrão da diferença das médias é
\mathrm{SE} = s_{p} \sqrt{\frac{1}{n_{A}} + \frac{1}{n_{B}}} = 2{,}329 \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{5}} \approx 1{,}562.

Passo 5

O valor do estadístico t é
t = \frac{\bar x_{A} - \bar x_{B}}{\mathrm{SE}} = \frac{20 - 21}{1{,}562} \approx -0{,}640.
Os graus de liberdade são n_{A}+n_{B}-2 = 7.

Passo 6

Para \alpha=0,05 e teste bicaudal, o valor crítico é
t_{0,975;7} \approx 2{,}365.
Como \lvert -0{,}640\rvert < 2{,}365, não rejeitamos H_{0}.

Resposta

Não se rejeita H_{0}: não há diferença significativa entre as médias de nicotina das marcas A e B, ao nível de 5 %.

Exercícios relacionados