Admita que a distribuição do número de carros que familias de uma dada região possuem é a seguinte:
ccccc Carros (C) & 0 & 1 & 2 & 3 pC(c) & 0.21 & 0.47 & 0.26 & 0.06
Suponha ainda que a probabilidade de um carro ser a álcool é de 33 %, a gasolina 64 % e a gás de 3 %.
b) Calcule a probabilidade de uma família ter dois carros sabendo que tem pelo menos um automóvel a álcool.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade que fala sobre quantos carros as famílias de uma certa região têm e que tipo de combustível esses carros usam. O que a gente precisa descobrir aqui é a probabilidade de uma família ter dois carros, sabendo que pelo menos um desses carros é a álcool. Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de probabilidade condicional e probabilidade de eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição do número de carros por família:
ccccc Carros (C) & 0 & 1 & 2 & 3 pC(c) & 0.21 & 0.47 & 0.26 & 0.06
Isso significa que, por exemplo, 21% das famílias não têm carros, 47% têm um carro, e assim por diante.

Passo 3

A gente também sabe que a probabilidade de um carro ser a álcool é de 33%, gasolina 64% e gás 3%. Vamos focar nessa parte sobre os carros a álcool.

Passo 4

A gente quer calcular a probabilidade de uma família ter dois carros, dado que pelo menos um é a álcool. Isso é uma probabilidade condicional, que se escreve assim:
P(C=2 mid pelo menos um a álcool) = P(C=2 e pelo menos um a álcool)P(pelo menos um a álcool) ááá

Passo 5

Vamos calcular o numerador: a probabilidade de uma família ter dois carros e pelo menos um ser a álcool.
Para ter dois carros, a probabilidade é 0.26. Agora, para que pelo menos um dos dois carros seja a álcool, a gente calcula 1 menos a probabilidade de nenhum dos dois ser a álcool.
A probabilidade de um carro não ser a álcool é 67% (100% - 33%).
Então:
P(pelo menos um a álcool mid C=2) = 1 - (0.67)^2 = 1 - 0.4489 = 0.5511 á
Multiplicando pela probabilidade de ter dois carros:
P(C=2 e pelo menos um a álcool) = 0.26 times 0.5511 approx 0.1433 á

Passo 6

Agora, vamos calcular o denominador: a probabilidade de ter pelo menos um carro a álcool em qualquer família que tenha pelo menos um carro.
Vamos considerar cada caso de número de carros:
  • 0 carros: Não tem carros, então a probabilidade de ter pelo menos um a álcool é 0.
  • 1 carro: A probabilidade de ser a álcool é 0.33.
  • 2 carros: Já calculamos, é 0.5511.
  • 3 carros: A probabilidade de ter pelo menos um a álcool é:
1 - (0.67)^3 = 1 - 0.300763 = 0.699237
Agora, multiplicamos cada probabilidade pelo número de carros e somamos:
P(pelo menos um a álcool) = (0.21 times 0) + (0.47 times 0.33) + (0.26 times 0.5511) + (0.06 times 0.699237) á
Calculando cada parte:
0.21 times 0 = 0
0.47 times 0.33 approx 0.1551
0.26 times 0.5511 approx 0.1433
0.06 times 0.699237 approx 0.04195
Somando tudo:
0 + 0.1551 + 0.1433 + 0.04195 approx 0.34035

Passo 7

Agora, vamos voltar à nossa fórmula de probabilidade condicional:
P(C=2 mid pelo menos um a álcool) = 0.14330.34035 approx 0.421 á

Resposta

A probabilidade de uma família ter dois carros sabendo que tem pelo menos um automóvel a álcool é de aproximadamente 42,1%.

Exercícios relacionados