Admita que a distribuição do número de carros que familias de uma dada região possuem é a seguinte:
Suponha ainda que a probabilidade de um carro ser a álcool é de
, a gasolina
e a gás de
.
b) Calcule a probabilidade de uma família ter dois carros sabendo que tem pelo menos um automóvel a álcool.
b) Calcule a probabilidade de uma família ter dois carros sabendo que tem pelo menos um automóvel a álcool.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade que fala sobre quantos carros as famílias de uma certa região têm e que tipo de combustível esses carros usam. O que a gente precisa descobrir aqui é a probabilidade de uma família ter dois carros, sabendo que pelo menos um desses carros é a álcool. Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de probabilidade condicional e probabilidade de eventos independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição do número de carros por família:
Isso significa que, por exemplo, 21% das famílias não têm carros, 47% têm um carro, e assim por diante.
Passo 3
A gente também sabe que a probabilidade de um carro ser a álcool é de 33%, gasolina 64% e gás 3%. Vamos focar nessa parte sobre os carros a álcool.
Passo 4
A gente quer calcular a probabilidade de uma família ter dois carros, dado que pelo menos um é a álcool. Isso é uma probabilidade condicional, que se escreve assim:
Passo 5
Vamos calcular o numerador: a probabilidade de uma família ter dois carros e pelo menos um ser a álcool.
Para ter dois carros, a probabilidade é 0.26. Agora, para que pelo menos um dos dois carros seja a álcool, a gente calcula 1 menos a probabilidade de nenhum dos dois ser a álcool.
A probabilidade de um carro não ser a álcool é 67% (100% - 33%).
Então:
Multiplicando pela probabilidade de ter dois carros:
Passo 6
Agora, vamos calcular o denominador: a probabilidade de ter pelo menos um carro a álcool em qualquer família que tenha pelo menos um carro.
Vamos considerar cada caso de número de carros:
- 0 carros: Não tem carros, então a probabilidade de ter pelo menos um a álcool é 0.
- 1 carro: A probabilidade de ser a álcool é 0.33.
- 2 carros: Já calculamos, é 0.5511.
- 3 carros: A probabilidade de ter pelo menos um a álcool é:
Agora, multiplicamos cada probabilidade pelo número de carros e somamos:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 7
Agora, vamos voltar à nossa fórmula de probabilidade condicional:
Resposta
A probabilidade de uma família ter dois carros sabendo que tem pelo menos um automóvel a álcool é de aproximadamente 42,1%.