Mostre que
integral0^pi2 sen^2 n(x) d x=3 cdot 5 cdot 7 cdot cdots cdot(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot cdots cdot(2 n) cdot pi2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
I2n=integral0^pi2sin^2n(x),dx
vale
3cdot5cdot7cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n),pi2
O conteúdo aqui é a redução de integrais de potências de seno usando integração por partes para obter uma relação de recorrência.

Passo 2

Considere
Im=integral sin^m(x),dx
Aplicamos integração por partes escolhendo
u=sin^m-1(x), dv=sin(x),dx,
de onde
du=(m-1)sin^m-2(x)cos(x),dx, v=-cos(x)
Então
integral sin^m(x),dx =-sin^m-1(x)cos(x) +(m-1)integral sin^m-2(x)cos^2(x),dx

Passo 3

Usando cos^2(x)=1-sin^2(x) na última integral, obtemos
integral sin^m(x),dx =-sin^m-1(x)cos(x) +(m-1)integral sin^m-2(x),dx -(m-1)integral sin^m(x),dx
Reagrupando o termo integralsin^m(x),dx
mintegral sin^m(x),dx =-sin^m-1(x)cos(x) +(m-1)integral sin^m-2(x),dx,
logo, ao considerar a integral de 0 a pi/2, o termo sin^m-1(x)cos(x) some nos limites e ficamos com
integral0^pi2sin^m(x),dx =m-1mintegral0^pi2sin^m-2(x),dx

Passo 4

Para m=2n definimos
I2n=integral0^pi2sin^2n(x),dx
A recorrência dá
I2n=2n-12n,I2n-2, I2n-2=2n-32n-2,I2n-4,;dots,; I2=tfrac12I0
Multiplicando todas:
I2n =(2n-1)(2n-3)cdots1(2n)(2n-2)cdots2,I0

Passo 5

Como
I0=integral0^pi2dx=pi2,
segue
integral0^pi2sin^2n(x),dx =1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n) cdotpi2
Como 1 não altera o produto, escrevemos no formato pedido:
integral0^pi2sin^2n(x),dx =3cdot5cdot7cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n), pi2

Resposta

integral0^pi2sin^2n(x),dx =3cdot5cdot7cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n), pi2

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