Em um canal digital de comunicação, suponha que o número de bits recebidos com erro possa ser modelado por uma variável aleatória binomial. Suponha que a probabilidade de um bit ser recebido com erro seja de
. Se 16 milhões de bits forem transmitidos, qual seria a probabilidade de haver 150 ou menos erros? Para resolver este problema você deve usar a transformação binomial à normal. Para mostrar que esta é uma boa aproximação, considere que somente 50 bits sejam transmitidos e que a probabilidade de erro seja 0,1. Calcule (através da probabilidade pela fórmula da binomial e pela aproximação à Normal) a probabilidade de que dois ou menos erros ocorram. Compare os dois resultados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a probabilidade de no máximo 150 erros num canal digital com n = 16×10^6 bits e probabilidade de erro p = 1×10^{-5}, usando a aproximação da Binomial pela Normal. Além disso, para avaliar a qualidade dessa aproximação, devemos calcular a probabilidade de até 2 erros quando n = 50 e p = 0,1, tanto via fórmula exata da Binomial quanto via Normal, e comparar os resultados.
Passo 2
Para o primeiro caso (n = 16×10^6, p = 1×10^{-5}), primeiro determinamos a média e o desvio-padrão da Binomial:
Usamos correção de continuidade para P(X \le 150):
Consultando a tabela da Normal padrão,
Passo 3
Para o segundo caso (n = 50, p = 0,1), começamos pela probabilidade exata da Binomial:
Calculando termo a termo:
Somando,
Passo 4
Agora fazemos a aproximação Normal para esse mesmo caso. Primeiro média e desvio-padrão:
Usando correção de continuidade para P(X \le 2):
Da tabela da Normal padrão,
Passo 5
Comparando os resultados do segundo caso vemos que a probabilidade exata é 0,1112 e a aproximada pela Normal é 0,119, uma diferença de cerca de 0,008 (ou ~7,2%), mostrando que a aproximação é razoável para esse tipo de problema.
Resposta
Para n = 16×10^6 e p = 1×10^{-5}: P(X ≤ 150) ≈ 0,227.
Para n = 50 e p = 0,1: probabilidade exata P(X ≤ 2) ≈ 0,1112; aproximação pela Normal ≈ 0,119. A diferença é pequena (~0,008), indicando que a aproximação Normal é boa nesse caso.
Para n = 50 e p = 0,1: probabilidade exata P(X ≤ 2) ≈ 0,1112; aproximação pela Normal ≈ 0,119. A diferença é pequena (~0,008), indicando que a aproximação Normal é boa nesse caso.