Em um canal digital de comunicação, suponha que o número de bits recebidos com erro possa ser modelado por uma variável aleatória binomial. Suponha que a probabilidade de um bit ser recebido com erro seja de 1 X 10^-5. Se 16 milhões de bits forem transmitidos, qual seria a probabilidade de haver 150 ou menos erros? Para resolver este problema você deve usar a transformação binomial à normal. Para mostrar que esta é uma boa aproximação, considere que somente 50 bits sejam transmitidos e que a probabilidade de erro seja 0,1. Calcule (através da probabilidade pela fórmula da binomial e pela aproximação à Normal) a probabilidade de que dois ou menos erros ocorram. Compare os dois resultados.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a probabilidade de no máximo 150 erros num canal digital com n = 16×10^6 bits e probabilidade de erro p = 1×10^{-5}, usando a aproximação da Binomial pela Normal. Além disso, para avaliar a qualidade dessa aproximação, devemos calcular a probabilidade de até 2 erros quando n = 50 e p = 0,1, tanto via fórmula exata da Binomial quanto via Normal, e comparar os resultados.

Passo 2

Para o primeiro caso (n = 16×10^6, p = 1×10^{-5}), primeiro determinamos a média e o desvio-padrão da Binomial:
mu = n p = 16times10^6 times 1times10^-5 = 160,
sigma = raizn p(1-p) = raiz16times10^6 times 1times10^-5 times (1 - 1times10^-5) approx raiz160 times 0,99999 approx 12,649
Usamos correção de continuidade para P(X \le 150):
P(X <= 150) approx Pl(Z <= 150 + 0,5 - musigmar) = Pl(Z <= 150,5 - 16012,649r) = P(Z <= -0,751)
Consultando a tabela da Normal padrão,
P(Z <= -0,751) = 1 - P(Z <= 0,751) approx 1 - 0,773 = 0,227

Passo 3

Para o segundo caso (n = 50, p = 0,1), começamos pela probabilidade exata da Binomial:
P(X <= 2) = sumk=0^2 binom50k (0,1)^k (0,9)^50-k
Calculando termo a termo:
P(0) = (0,9)^50 approx 0,00515,
P(1) = 50 times 0,1 times (0,9)^49 approx 0,0285,
P(2) = binom502 times (0,1)^2 times (0,9)^48 approx 0,0776
Somando,
Pexata(X <= 2) approx 0,00515 + 0,0285 + 0,0776 = 0,1112

Passo 4

Agora fazemos a aproximação Normal para esse mesmo caso. Primeiro média e desvio-padrão:
mu = 50 times 0,1 = 5,
sigma = raiz50 times 0,1 times 0,9 = raiz4,5 approx 2,121
Usando correção de continuidade para P(X \le 2):
P(X <= 2) approx Pl(Z <= 2 + 0,5 - 52,121r) = Pl(Z <= -2,52,121r) = P(Z <= -1,179)
Da tabela da Normal padrão,
P(Z <= -1,179) = 1 - P(Z <= 1,179) approx 1 - 0,881 = 0,119

Passo 5

Comparando os resultados do segundo caso vemos que a probabilidade exata é 0,1112 e a aproximada pela Normal é 0,119, uma diferença de cerca de 0,008 (ou ~7,2%), mostrando que a aproximação é razoável para esse tipo de problema.

Resposta

Para n = 16×10^6 e p = 1×10^{-5}: P(X ≤ 150) ≈ 0,227.
Para n = 50 e p = 0,1: probabilidade exata P(X ≤ 2) ≈ 0,1112; aproximação pela Normal ≈ 0,119. A diferença é pequena (~0,008), indicando que a aproximação Normal é boa nesse caso.

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