Admita que a energia interna de um determinado sistema possa ser escrita em termos de U=U(S, P, \mu). Encontre a expressão de d U e obtenha as equações de estado apropriadas a partir das derivadas parciais de U em relação aos parâmetros S, P e \mu.

Passo 1

O enunciado diz que a energia interna pode ser escrita como função dos parâmetros S, P e \mu:
U = U(S, P, \mu).
Precisamos obter a forma diferencial dU em termos de dS, dP e d\mu e identificar, a partir das derivadas parciais de U, as equações de estado que ligam essas derivadas às grandezas termodinâmicas usuais (temperatura T, volume V e número de partículas N).

Passo 2

Como U é função de três variáveis independentes, seu diferencial total é
dU = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{P,\mu}\,dS \;+\;\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{S,\mu}\,dP\;+\;\left(\frac{\partial U}{\partial \mu}\right)_{S,P}\,d\mu.

Passo 3

Em termodinâmica, a forma canônica do diferencial de um potencial que tem S, P e \mu como variáveis naturais é
dU = T\,dS \;-\;V\,dP \;+\;N\,d\mu,
onde T é a temperatura, V o volume e N o número de partículas. Comparando com o resultado do passo anterior, identificamos
T = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{P,\mu}, \qquad -\,V = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{S,\mu}, \qquad N = \left(\frac{\partial U}{\partial \mu}\right)_{S,P}.

Resposta

dU = T,dS - V,dP + N,d\mu
T = \bigl(\partial U/\partial S\bigr)_{P,\mu}
V = -\,\bigl(\partial U/\partial P\bigr)_{S,\mu}
N = \bigl(\partial U/\partial \mu\bigr)_{S,P}

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