Considere que um sistema tenha a seguinte expressão para a energia interna
U=C \frac{S^{3}}{N V},
onde C é uma constante. Obtenha as três equações de estado do sistema.

Passo 1

O enunciado dá a energia interna U como função das variáveis extesivas entropia S, volume V e número de partículas N:
U = C\,\frac{S^3}{N\,V},
onde C é constante.
Em termodinâmica, a forma fundamental na representação entropia é
dU = T\,dS \;-\; P\,dV \;+\; \mu\,dN,
e as equações de estado aparecem pelas definições
T = \Bigl(\frac{\partial U}{\partial S}\Bigr)_{V,N},\quad P = -\Bigl(\frac{\partial U}{\partial V}\Bigr)_{S,N},\quad \mu = \Bigl(\frac{\partial U}{\partial N}\Bigr)_{S,V}.

Passo 2

Calcular a temperatura T:
T = \Bigl(\frac{\partial U}{\partial S}\Bigr)_{V,N} = \frac{\partial}{\partial S}\Bigl(C\,\frac{S^3}{N\,V}\Bigr) = C\,\frac{3\,S^2}{N\,V} = \frac{3\,C\,S^2}{N\,V}.

Passo 3

Calcular a pressão P:
P = -\Bigl(\frac{\partial U}{\partial V}\Bigr)_{S,N} = -\frac{\partial}{\partial V}\Bigl(C\,\frac{S^3}{N\,V}\Bigr) = -C\,\Bigl(-\frac{S^3}{N\,V^2}\Bigr) = \frac{C\,S^3}{N\,V^2}.

Passo 4

Calcular o potencial químico \mu:
\mu = \Bigl(\frac{\partial U}{\partial N}\Bigr)_{S,V} = \frac{\partial}{\partial N}\Bigl(C\,\frac{S^3}{N\,V}\Bigr) = C\,S^3\;\frac{\partial}{\partial N}\Bigl(\frac{1}{N\,V}\Bigr) = C\,S^3\;\bigl(-\frac{1}{N^2\,V}\bigr) = -\frac{C\,S^3}{N^2\,V}.

Resposta

T = \frac{3\,C\,S^2}{N\,V},\quad P = \frac{C\,S^3}{N\,V^2},\quad \mu = -\frac{C\,S^3}{N^2\,V}.

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