Encontre as equações de estado para a seguinte expressão da energia livre de Gibbs
G=N k_{B} T \ln \left(\frac{P}{P_{0}}\right)-A(T) P,
onde A(T) é uma função positiva de T.

Passo 1

O enunciado nos dá a energia livre de Gibbs
G = N k_{B} T \ln\!\biggl(\frac{P}{P_{0}}\biggr) \;-\; A(T)\,P,
onde A(T) é uma função positiva de T. O conteúdo é termodinâmica clássica e vamos usar as definições
S = -\biggl(\frac{\partial G}{\partial T}\biggr)_{P,N}, \quad V = \biggl(\frac{\partial G}{\partial P}\biggr)_{T,N}, \quad \mu = \biggl(\frac{\partial G}{\partial N}\biggr)_{T,P}.

Passo 2

Calcular a entropia S. Derivando G em relação a T (mantendo P,N constantes):
\frac{\partial G}{\partial T} = N k_{B}\ln\!\biggl(\frac{P}{P_{0}}\biggr) \;-\; A'(T)\,P.
Logo,
S = -\frac{\partial G}{\partial T} = -\,N k_{B}\ln\!\biggl(\frac{P}{P_{0}}\biggr) \;+\; A'(T)\,P.

Passo 3

Calcular o volume V. Derivando G em relação a P (mantendo T,N constantes):
\frac{\partial G}{\partial P} = N k_{B}T\,\frac{1}{P} \;-\; A(T).
Portanto,
V = \frac{\partial G}{\partial P} = \frac{N k_{B}T}{P} \;-\; A(T).

Passo 4

Calcular o potencial químico \mu e escrever a equação de estado. Derivando G em relação a N:
\mu = \frac{\partial G}{\partial N} = k_{B}T\ln\!\biggl(\frac{P}{P_{0}}\biggr).
Reescrevendo a expressão de V como
V + A(T) = \frac{N k_{B}T}{P},
multiplicando ambos os lados por P dá a forma compacta da equação de estado.

Resposta

S = -\,N k_{B}\ln\!\biggl(\frac{P}{P_{0}}\biggr) \;+\; A'(T)\,P
V = \frac{N k_{B}T}{P} \;-\; A(T)
\mu = k_{B}T\ln\!\biggl(\frac{P}{P_{0}}\biggr)
P\bigl(V + A(T)\bigr) = N k_{B}T

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