Mostre que:
para
e
, é uma diferencial exata. Escolhendo um caminho apropriado, calcule a integral
de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
com
é exata, ou seja, que existe uma função potencial
tal que
. Em seguida, devemos calcular
no caminho qualquer de a
. O conteúdo é formas diferenciais exatas e integrais de linha independentes do caminho.
no caminho qualquer de
Passo 2
Para verificar a exatidão, comparamos as derivadas parciais cruzadas. Calculamos
e
Como
, a forma é exata num domínio simplesmente conexo (todo
neste caso).
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Agora impomos que
. Calculamos
Igualando a
obtemos
Podemos escolher
. Logo
Passo 5
Finalmente, como a integral de linha é independente do caminho, basta avaliar
Calculamos
e
. Portanto,