Mostre que:
d z=F(x, y) d x+G(x, y) d y
para F(x, y)=9 x^{2}+4 y^{2}+4 x y e G(x, y)=8 x y+2 x^{2}+3 y^{2}, é uma diferencial exata. Escolhendo um caminho apropriado, calcule a integral \int_{C}[F d x+G d y] de (0,0) a (1,2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
\omega = F(x,y)\,dx + G(x,y)\,dy
com
F(x,y)=9x^{2}+4y^{2}+4xy, \quad G(x,y)=8xy+2x^{2}+3y^{2},
é exata, ou seja, que existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que d\varphi=\omega. Em seguida, devemos calcular
\displaystyle \int_{C}\omega
no caminho qualquer de (0,0) a (1,2). O conteúdo é formas diferenciais exatas e integrais de linha independentes do caminho.

Passo 2

Para verificar a exatidão, comparamos as derivadas parciais cruzadas. Calculamos
\frac{\partial F}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(9x^{2}+4y^{2}+4xy) =8y+4x,
e
\frac{\partial G}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(8xy+2x^{2}+3y^{2}) =8y+4x.
Como \partial F/\partial y=\partial G/\partial x, a forma é exata num domínio simplesmente conexo (todo \mathbb{R}^2 neste caso).

Passo 3

Para achar a função potencial \varphi(x,y), integramos F em relação a x:
\varphi(x,y) =\int (9x^{2}+4y^{2}+4xy)\,dx =3x^{3}+4y^{2}x+2x^{2}y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Agora impomos que \partial \varphi/\partial y=G. Calculamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{3}+4y^{2}x+2x^{2}y+h(y)\bigr) =8xy+2x^{2}+h'(y).
Igualando a G(x,y)=8xy+2x^{2}+3y^{2} obtemos
h'(y)=3y^{2} \quad\Longrightarrow\quad h(y)=y^{3}+C.
Podemos escolher C=0. Logo
\varphi(x,y)=3x^{3}+2x^{2}y+4xy^{2}+y^{3}.

Passo 5

Finalmente, como a integral de linha é independente do caminho, basta avaliar
\int_{C}\omega =\varphi(1,2)-\varphi(0,0).
Calculamos
\varphi(1,2) =3\cdot1^{3}+2\cdot1^{2}\cdot2+4\cdot1\cdot2^{2}+2^{3} =3+4+16+8=31,
e \varphi(0,0)=0. Portanto,
\int_{C}[F\,dx+G\,dy]=31.

Resposta

\displaystyle 31

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