Calcule a integral de f(x, y)=x^{2}-y^{2} ao longo da reta y=2 x de x=0 até x=1.

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha da função escalar f(x,y)=x^2-y^2 ao longo da reta y=2x desde o ponto (0,0) até (1,2). O conteúdo envolvido é integral de linha de função escalar, que usamos como
\int_C f(x,y)\,ds
onde parametrizamos a curva e calculamos ds.

Passo 2

Parametrizamos a reta por
\vec r(t) = (x(t),y(t)) = (t,2t), \quad t\in[0,1].
Então
\vec r\,'(t) = (1,2)
e o elemento de arco é
ds = \|\vec r\,'(t)\|\,dt = \sqrt{1^2+2^2}\,dt = \sqrt{5}\,dt.

Passo 3

Escrevendo f em função de t, temos
f(x(t),y(t)) = t^2 - (2t)^2 = -3t^2.
Logo o integral de linha fica
\int_C f\,ds = \int_{0}^{1} \bigl(-3t^2\bigr)\,\sqrt{5}\,dt = -3\sqrt{5}\int_{0}^{1}t^2\,dt.

Passo 4

Calculamos o integral simples:
\int_{0}^{1}t^2\,dt = \frac{1}{3}.
Substituindo, obtemos
\int_C f\,ds = -3\sqrt{5}\cdot\frac{1}{3} = -\sqrt{5}.

Resposta

-\sqrt{5}

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