Admita que (V, oplus, odot) é um R-espaço vetorial, sendo V=(x, y) in R^2 ; x>0 e y>0,(x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1 x2, y1 y2) e a odot(x, y)=(x^a, y^a).
Fixados e1=(2,3) e e2=(3,2), determine as funções f, g: V R, dadas pela equação linear
v=[f(v) odot e1] oplus[g(v) odot e2]

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=(x,y)inR^2mid x>0,;y>0 com soma
(x1,y1)oplus(x2,y2)=(x1x2,;y1y2)
e multiplicação escalar
aodot(x,y)=(x^a,;y^a)
Fixos e1=(2,3) e e2=(3,2), queremos achar funções f,g:VtoR tais que, para todo v=(x,y)in V,
v ;=;l[f(v)odot e1r];oplus;l[g(v)odot e2r]
O conteúdo central é representar v como combinação linear em relação a e1,e2 e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Aplicando as definições,
f(v)odot e1 = l(2^,f(v),,3^,f(v)r), g(v)odot e2 = l(3^,g(v),,2^,g(v)r),
e a soma oplus dessas duas parcelas dá
l(2^,f(v),3^,f(v)r)oplusl(3^,g(v),2^,g(v)r) =l(2^,f(v)cdot3^,g(v),;3^,f(v)cdot2^,g(v)r)
Como isso deve ser igual a v=(x,y), obtemos o sistema
2^,f(v),3^,g(v) = x, 3^,f(v),2^,g(v) = y

Passo 3

Para linearizar, tomamos logaritmo natural em cada equação, escrevendo L1=ln(x) e L2=ln(y). Isso produz
f(v),ln(2) ;+; g(v),ln(3) = L1,
f(v),ln(3) ;+; g(v),ln(2) = L2
Em forma matricial:
ln(2) & ln(3)[6pt] ln(3) & ln(2) f(v)[3pt] g(v) = L1[3pt] L2 ]

Passo 4

Usamos a regra de Cramer para resolver
De<a = l(ln(2)r)^2 - l(ln(3)r)^2
Então
f(v) = ln(2),L1 - ln(3),L2De<a, g(v) = ln(2),L2 - ln(3),L1De<a

Passo 5

Substituindo L1=ln(x) e L2=ln(y), obtemos as fórmulas explícitas:
f(x,y) = ln(2),ln(x);-;ln(3),ln(y) l(ln(2)r)^2 - l(ln(3)r)^2,
g(x,y) = ln(2),ln(y);-;ln(3),ln(x) l(ln(2)r)^2 - l(ln(3)r)^2

Resposta

Para todo v=(x,y)in V,
f(v)=ln(2),ln(x)-ln(3),ln(y) (ln(2))^2-(ln(3))^2, g(v)=ln(2),ln(y)-ln(3),ln(x) (ln(2))^2-(ln(3))^2

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