Admita que
é um
-espaço vetorial, sendo
e
e
.
Fixados
e
, determine as funções
, dadas pela equação linear
Fixados
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
com soma
e multiplicação escalar
Fixos
e
, queremos achar funções
tais que, para todo
,
O conteúdo central é representar
como combinação linear em relação a
e resolver o sistema resultante.
Passo 2
Aplicando as definições,
e a soma
dessas duas parcelas dá
Como isso deve ser igual a
, obtemos o sistema
Passo 3
Para linearizar, tomamos logaritmo natural em cada equação, escrevendo
e
. Isso produz
Em forma matricial:
Passo 4
Usamos a regra de Cramer para resolver
Então
Passo 5
Substituindo
e
, obtemos as fórmulas explícitas:
Resposta
Para todo
,