Seja
uma matriz real de ordem
tal que
, para toda matriz real
de ordem
.
Utilizando indução, mostre que, para todo inteiro
, existe
tal que
, em que
indica a matriz identidade
.
Utilizando indução, mostre que, para todo inteiro
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz real
que comuta com toda matriz
, isto é,
O objetivo é provar por indução em
que existe escalar
tal que
Passo 2
Base da indução:
. Escrevemos
- Tomemos
(matriz com 1 na posição e zeros nas outras). Então
Igualando
vem
e
.
- Tomemos
. Analogamente obtemos .
Logo
e
, ou seja
Passo 3
Hipótese de indução: para algum
, toda matriz
que comuta com todas as
é um escalar vezes
.
Passo indutivo: seja
que comuta com toda
. Escrevemos em blocos
onde
,
e
.
Passo 4
Mostramos que
e
.
-
Tome
para . Da igualdade no bloco sai trivial, mas no bloco logoou melhor, para consistência . Assim . -
Tome
para . Análogo mostra .
Passo 5
Agora . Se escolhemos
com
arbitrária, a comutação reduz-se a
Pela hipótese de indução, existe
tal que
Passo 6
Falta mostrar
. Escolha
Então
O elemento
de
é
e de
é
. Igualando vem
Logo
. Definindo
, completa-se a indução.
Resposta
Para todo
existe
tal que