Seja An uma matriz real de ordem n times n tal que An Bn=Bn An, para toda matriz real Bn de ordem n times n.
Utilizando indução, mostre que, para todo inteiro n >= 2, existe an in R tal que An=an In, em que In indica a matriz identidade n times n.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz real ,AninR^ntimes n que comuta com toda matriz BninR^ntimes n, isto é,
AnBn=BnAn para todo Bn
O objetivo é provar por indução em n>=2 que existe escalar an tal que
An=anIn

Passo 2

Base da indução: n=2. Escrevemos
A2=a&b c&d
  1. Tomemos B=E12 (matriz com 1 na posição (1,2) e zeros nas outras). Então
A2E12 =a&b c&d 0&10&0 =0&a0&c,
E12A2 =0&10&0 a&b c&d =c&d0&0
Igualando A2E12=E12A2 vem 0=c e a=d.
  1. Tomemos B=E21. Analogamente obtemos b=0.
Logo b=c=0 e a=d, ou seja
A2=a&00&a=aI2

Passo 3

Hipótese de indução: para algum n-1>=2, toda matriz ,(n-1)times(n-1) que comuta com todas as (n-1)times(n-1) é um escalar vezes In-1.
Passo indutivo: seja An que comuta com toda Bn. Escrevemos em blocos
An = alpha & u^T v & D ,
onde alphainR, u,vinR^n-1 e DinR^(n-1)times(n-1).

Passo 4

Mostramos que u=0 e v=0.
  • Tome B=E1,j+1 para j=1,dots,n-1. Da igualdade AnB=BAn no bloco (1,1) sai alphacdot0=0cdotalpha trivial, mas no bloco (1,j+1)
    (AnB)1,j+1 =alphacdot1 =alpha, (BAn)1,j+1 =ujcdot0 =0,
    logo alpha=0 ou melhor, para consistência uj=0. Assim u=0.
  • Tome B=Ei+1,1 para i=1,dots,n-1. Análogo mostra v=0.

Passo 5

Agora . Se escolhemos
com arbitrária, a comutação reduz-se a
Pela hipótese de indução, existe tal que

Passo 6

Falta mostrar alpha=an-1. Escolha
B=E1,2+E2,1
Então
AnB =alpha&00&an-1I l(E1,2+E2,1r) e B,An =l(E1,2+E2,1r) alpha&00&an-1I
O elemento (1,2) de AnB é alpha e de BAn é an-1. Igualando vem
alpha=an-1
Logo An=alpha In. Definindo an=alpha, completa-se a indução.

Resposta

Para todo n>=2 existe aninR tal que
An=anIn

Exercícios relacionados