Seja An uma matriz real de ordem n times n tal que An Bn=Bn An, para toda matriz real Bn de ordem n times n.
Considerando, inicialmente, B2=(ll1 & 0 0 & 0) e, em seguida, B2=(ll0 & 1 0 & 0), conclua que existe a2 in R tal que A2=(cca2 & 0 0 & a2).

Passo 1

Resumo do enunciado: a matriz A2 comuta com toda matriz real B2, isto é, satisfaz
A2B2=B2A2
para qualquer B2. Vamos usar dois casos especiais de B2 para determinar a forma de A2.

Passo 2

Escrevemos
A2 = a & b c & d
Em seguida escolhemos
B2 = 1 & 0 0 & 0
Logo
A2B2 = a & 0 c & 0
e
B2A2 = a & b 0 & 0
Igualando as duas matrizes obtemos b = 0 e c = 0.

Passo 3

Com b = 0 e c = 0 temos
A2 = a & 0 0 & d
Agora escolhemos
B2 = 0 & 1 0 & 0
Logo
A2B2 = 0 & a 0 & 0
e
B2A2 = 0 & d 0 & 0
Igualando as duas matrizes obtemos a = d.

Passo 4

Concluímos que existe a2 = a = d tal que
A2 = a2 & 0 0 & a2

Resposta

Existe a2inR tal que
A2 = a2 & 0 0 & a2

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